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6. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数$a$,$b$,$c$称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为$\begin{cases}a= \frac{1}{2}(m^{2}-n^{2}),\\b= mn,\\c= \frac{1}{2}(m^{2}+n^{2}),\end{cases} 其中m＞n＞0$,$m$,$n$是互质的奇数.
应用：当$n= 1$时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
应用：当$n= 1$时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
12,13 或 3,4
答案
6. 当$n=1,a=\frac {1}{2}(m^{2}-1)$①,$b=m$②,$c=\frac {1}{2}(m^{2}+1)$③.$\because$ 直角三角形中有一边长为5,$\therefore$ 当$a=5$时,$\frac {1}{2}(m^{2}-1)=5$,解得$m=\pm \sqrt {11}$(不合题意,舍去). 当$b=5$时,即$m=5$,代入①③,解得$a=12,c=13$. 当$c=5$时,$\frac {1}{2}(m^{2}+1)=5$,解得$m=\pm 3.\because m＞0,\therefore m=3$,代入①②,解得$a=4,b=3$. 综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
7. 如图17-9,在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边长分别为a= n^{2}-1$,$b= 2n$,$c= n^{2}+1$,且$n＞1$.
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
(2)若$\angle B= 60^{\circ}$,求$\triangle ABC$的三边长.
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
$\triangle ABC$是直角三角形. 理由如下:$\because a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1,\therefore a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2},c^{2}=(n^{2}+1)^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore \triangle ABC$是直角三角形,且$\angle C=90^{\circ }$.
(2)若$\angle B= 60^{\circ}$,求$\triangle ABC$的三边长.
$\because \angle B=60^{\circ },\angle C=90^{\circ },\therefore c=2a$,即$n^{2}+1=2(n^{2}-1),\therefore n^{2}=3$,解得$n=\sqrt {3}$或$n=-\sqrt {3}$(不合题意,舍去). 当$n=\sqrt {3}$时,$a=n^{2}-1=(\sqrt {3})^{2}-1=3-1=2,b=2n=2\sqrt {3},c=2a=4$.
答案
7. (1)$△ABC$是直角三角形. 理由如下:$\because a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1,\therefore a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2},c^{2}=(n^{2}+1)^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠C=90^{\circ }$. (2)$\because ∠B=60^{\circ },∠C=90^{\circ },\therefore c=2a$,即$n^{2}+1=2(n^{2}-1),\therefore n^{2}=3$,解得$n=\sqrt {3}$或$n=-\sqrt {3}$(不合题意,舍去). 当$n=\sqrt {3}$时,$a=n^{2}-1=(\sqrt {3})^{2}-1=3-1=2,b=2n=2\sqrt {3},c=2a=4$.
