16. (1)如图①,AB//CD,∠1= ∠2,求证：PB//CM.
(2)如图②,AB//CD,直接写出∠B,∠D,∠E,∠F,∠G之间的数量关系.

$(1)$ 证明$PB// CM$
解（证明）：
过点$P$作$PN// AB$，过点$M$作$MQ// CD$。
因为$AB// CD$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$PN// CD$。
又因为$MQ// CD$，所以$PN// MQ$。
由于$PN// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BPN=\angle 1$。
同理$MQ// CD$，可得$\angle CMQ = \angle 2$。
已知$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle BPN=\angle CMQ$。
因为$PN// MQ$，所以$\angle NPM=\angle QMP$（两直线平行，内错角相等）。
那么$\angle BPN+\angle NPM=\angle CMQ+\angle QMP$，即$\angle BPM=\angle PMC$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$PB// CM$。
$(2)$ 求$\angle B$，$\angle D$，$\angle E$，$\angle F$，$\angle G$之间的数量关系
过点$E$作$EH// AB$，过点$F$作$FI// AB$，过点$G$作$GJ// CD$。
因为$AB// CD$，所以$EH// FI// GJ// AB// CD$。
根据两直线平行，内错角相等：
$\angle B = \angle BEH$，$\angle HEF=\angle EFI$，$\angle IFG=\angle FGJ$，$\angle JGD=\angle D$。
$\angle BEF=\angle B+\angle EFI$，$\angle EFG=\angle EFI+\angle IFG$，$\angle FGD=\angle IFG+\angle D$。
则$\angle B+\angle D=\angle BEH + \angle JGD$，$\angle E+\angle G=\angle BEH+\angle HEF+\angle FGJ+\angle JGD=\angle B + \angle EFI+\angle IFG+\angle D$，而$\angle F=\angle EFI+\angle IFG$。
所以$\boldsymbol{\angle B+\angle D+\angle F=\angle E+\angle G}$ 。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{\angle B+\angle D+\angle F=\angle E+\angle G}$ 。

1. 如图,将线段AB向右平移至DC,使A与D对应,B与C对应,连接AD、BC,∠A= 2∠B.
(1)求∠BCD的度数；
(2)若F、G、E依次为BC延长线上的点,且∠EFD= ∠EDF,∠FDG= 30°,请判断DG是否平分∠CDE,并说明理由.

1. （1）
解：
因为线段$AB$向右平移至$DC$，所以$AB// DC$，$AD// BC$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$。
又因为$\angle A = 2\angle B$，所以$2\angle B+\angle B=180^{\circ}$，即$3\angle B = 180^{\circ}$，解得$\angle B = 60^{\circ}$。
由于$AD// BC$，$AB// DC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），则$\angle BCD=\angle A$。
把$\angle B = 60^{\circ}$代入$\angle A = 2\angle B$，得$\angle A = 120^{\circ}$，所以$\angle BCD = 120^{\circ}$。
2. （2）
解：
设$\angle EFD=\angle EDF = x$。
因为$\angle FDG = 30^{\circ}$，所以$\angle CDG=\angle BCD-\angle FDG - \angle EDF=120^{\circ}-30^{\circ}-x = 90^{\circ}-x$。
$\angle EDG=\angle EDF+\angle FDG=x + 30^{\circ}$，$\angle CDE=\angle CDG+\angle EDG=(90^{\circ}-x)+(x + 30^{\circ})=120^{\circ}$。
又因为$\angle CDG = 90^{\circ}-x$，$\angle EDG=x + 30^{\circ}$，$\angle CDE = 120^{\circ}$，且$\angle CDG+\angle EDG=\angle CDE$。
由$\angle EFD=\angle EDF$，$AB// DC$，可得$\angle B=\angle DCE = 60^{\circ}$。
$\angle CDE=180^{\circ}-\angle DCE=120^{\circ}$（邻补角定义）。
因为$\angle CDG=\angle EDG = 60^{\circ}$（$\angle CDG=120^{\circ}-\angle EDG$，又$\angle CDE = 120^{\circ}$，$\angle EDG=\angle EDF+\angle FDG$，$\angle EFD=\angle EDF$，通过计算：$\angle CDG=\angle BCD-\angle FDG-\angle EDF$，$\angle EDG=\angle EDF+\angle FDG$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，$\angle FDG = 30^{\circ}$，设$\angle EDF=\angle EFD=x$，$\angle CDG=120 - 30 - x$，$\angle EDG=x + 30$，$\angle CDE=120^{\circ}$，可得$\angle CDG=\angle EDG = 60^{\circ}$）。
所以$DG$平分$\angle CDE$（角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）。
综上，（1）$\angle BCD = 120^{\circ}$；（2）$DG$平分$\angle CDE$。