1.(2025 黄冈)如图,在$\triangle ABC$中,以$AB为直径的\odot O交BC于点D$,$DE是\odot O$的切线,且$DE\perp AC$,垂足为$E$,延长$CA交\odot O于点F$.
(1)求证:$AB= AC$;
(2)若$AE= 3$,$DE= 6$,求$AF$的长.

解：(1) 连接 $ OD $。$\because DE $ 是 $ \odot O $ 的切线，$\therefore OD \perp DE $。
$\because DE \perp AC $，$\therefore OD // AC $，
$\therefore \angle C = \angle ODB $。
$\because OD = OB $，$\therefore \angle B = \angle ODB $，
$\therefore \angle B = \angle C $，$\therefore AB = AC $；
(2) 连接 $ DF $，$ DA $。
$\because \angle F = \angle B $，$\angle B = \angle C $，
$\therefore \angle F = \angle C $，$\therefore DF = DC $，
$\because DE \perp CF $，$\therefore FE = EC $。
$\because AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ} $，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ} $，
设 $ AF = x $，则 $ FE = EC = x + 3 $。
在 $ \text{Rt} \triangle ADE $ 中，
$ AD^{2} = 3^{2} + 6^{2} = 45 $。
在 $ \text{Rt} \triangle DCE $ 中，
$ DC^{2} = (x + 3)^{2} + 6^{2} $。
在 $ \text{Rt} \triangle ADC $，$ AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} $，
$\therefore (x + 6)^{2} = 45 + (x + 3)^{2} + 6^{2} $，
解得 $ x = 9 $，$\therefore AF = 9 $。

2.(2024 深圳中考)如图,在$\triangle ABD$中,$AB= BD$,$\odot O为\triangle ABD$的外接圆,$BE为\odot O$的切线,$AC为\odot O$的直径,连接$DC并延长交BE于点E$.
(1)求证:$DE\perp BE$;
(2)若$AB= 5\sqrt{6}$,$BE= 5$,求$\odot O$的半径.

解：(1) 连接 $ BO $ 并延长，
交 $ AD $ 于点 $ H $。
$\because AB = BD $，$ OA = OD $，
$\therefore BO $ 垂直平分 $ AD $，
$\therefore \angle BHD = 90^{\circ} $。
$\because BE $ 为 $ \odot O $ 的切线，
$\therefore OB \perp BE $，$\therefore \angle OBE = 90^{\circ} $。
$\because AC $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ} $，
$\therefore $ 四边形 $ BEDH $ 为矩形，
$\therefore \angle E = 90^{\circ} $，$\therefore DE \perp BE $；
(2) $\because BO $ 垂直平分 $ AD $，
$\therefore AH = DH = \frac{1}{2}AD $。
$\because $ 四边形 $ BEDH $ 为矩形，
$\therefore DH = BE = 5 $，
在 $ \text{Rt} \triangle BDH $ 中，
$\because BD = AB = 5\sqrt{6} $，$ DH = 5 $，
$\therefore BH = \sqrt{(5\sqrt{6})^{2} - 5^{2}} = 5\sqrt{5} $。
设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，
则 $ OH = 5\sqrt{5} - r $，$ OD = r $，
在 $ \text{Rt} \triangle ODH $ 中，
$(5\sqrt{5} - r)^{2} + 5^{2} = r^{2} $，
解得 $ r = 3\sqrt{5} $，即 $ \odot O $ 的半径为 $ 3\sqrt{5} $。

3.如图,$O是\triangle ABC的边AB$上一点,以$OB为半径的\odot O交BC于点D$,过点$D作\odot O的切线交AC于点E$,且$DE\perp AC$.
(1)求证:$AB= AC$;
(2)若$EC= 1$,$AB= 10$,$DC= OB$,求$\odot O$的半径.

解：(1) 连接 $ OD $，证 $ OD // AC $，
$\therefore \angle C = \angle ODB = \angle B $，
$\therefore AB = AC $；
(2) 过点 $ O $ 作 $ OF \perp AC $ 于点 $ F $，
则四边形 $ ODEF $ 是矩形，
$\therefore OF = DE $，$ OD = EF $，
设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，
则 $ CD = OB = r $，$ AO = 10 - r $，
$ AF = 9 - r $。
在 $ \text{Rt} \triangle OAF $ 中，
$ OF^{2} = (10 - r)^{2} - (9 - r)^{2} $。
在 $ \text{Rt} \triangle DCE $ 中，
$ DE^{2} = r^{2} - 1^{2} $，
$\therefore (10 - r)^{2} - (9 - r)^{2} = r^{2} - 1^{2} $，
$\therefore r = \sqrt{21} - 1 $（负值已舍）。
$\therefore \odot O $ 的半径为 $ \sqrt{21} - 1 $。