10. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在网格中小正方形的顶点处，$AD$与$BC$相交于点$O$，小正方形的边长均为 1，则$AO$的长为。
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10.2　解析:如图，连接AE,ED。由勾股定理，易得AD = 5。
∵DE = 5，
∴AD = DE，
∴∠DAE = ∠DEA。由网格的特征，得AE//BC，
∴∠DAE = ∠DOC，∠DEA = ∠DCO，
∴∠DOC = ∠DCO，
∴DO = DC = 3，
∴AO = AD−DO = 5−3 = 2。
　　　　　　　

11. 如图所示为一张三角形纸片$ABC$，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8cm$，$BC=6cm$。现将纸片折叠，使点$A$与点$B$重合，那么折痕$DE$的长为$cm$。

11.$\frac{15}{4}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8\,cm$，$BC=6\,cm$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10\,cm$。
折叠后点$A$与点$B$重合，折痕$DE$垂直平分$AB$，设$AB$中点为$D$，则$AD=DB=5\,cm$，$DE\perp AB$。
设$AE=BE=x\,cm$，则$EC=AC - AE=(8 - x)\,cm$。在$Rt\triangle BEC$中，$BE^{2}=BC^{2}+EC^{2}$，即$x^{2}=6^{2}+(8 - x)^{2}$，解得$x=\frac{25}{4}\,cm$。
在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-5^{2}}=\sqrt{\frac{625}{16}-\frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}\,cm$。
$\frac{15}{4}$

12. (新情境·现实生活)如图，一只蚂蚁沿着棱长为 1 的正方体表面从点$A$出发，经过 3 个面爬到点$B$。如果它爬行的路径是最短的，那么最短路径的长为。

12.$\sqrt{10}$

解：将正方体表面展开，使点A经过3个面到达点B，此时展开图中A、B两点间的最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为3和1。
根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$

13. （分类讨论思想）（2024·常熟期中）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=6$，$AC=8$。直线$MN$垂直平分$AC$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，若点$F$从点$C$出发沿$CB$以每秒 2 个单位长度的速度向终点$B$匀速运动，设运动时间为$t$秒，连接$DC$，$DF$。在点$F$运动的过程中，$\triangle DCF$能否为以$CF$为腰的等腰三角形？若能，求出$t$的值；若不能，请说明理由。
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13.能　由题意，得CF = 2t。
∵∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，
∴AB = $\sqrt{BC^2 + AC^2}$ = 10。
∵直线MN垂直平分AC，
∴DA = DC，
∴∠DCA = ∠A。
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°，∠BCD + ∠DCA = 90°，
∴∠B = ∠BCD，
∴BD = DC，
∴BD = DC = AD = $\frac{1}{2}$AB = 5。①当CF = CD时，由2t = 5，得t = $\frac{5}{2}$；②当CF = DF = 2t 时，如图，过点D作DH⊥BC于点H，则易得△DHC≌△CED，
∴DH = CE = $\frac{1}{2}$AC = 4。
∵在Rt△CDH中，CH = $\sqrt{CD^2 - DH^2}$ = 3，
∴FH = 2t - 3。
∵在Rt△FDH 中，DF² = FH² + DH²，
∴(2t)² = (2t - 3)² + 4²，解得t = $\frac{25}{12}$。综上所述，t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{12}$
　　　　　　　

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=45^{\circ}$，$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$为$BC$的中点，$BE$与$DF$，$DC$分别交于点$G$，$H$，$\angle ABE=\angle CBE$。
（1）线段$BH$与$CA$相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由。
（2）求证：$BG^{2}-GE^{2}=EA^{2}$。
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14.
(1)相等
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC = ∠CDA = ∠BEA = 90°，
∴∠A + ∠DCA = 90°，∠A + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE = ∠DCA。又
∵∠ABC = 45°，
∴易得∠BCD = ∠ABC = 45°，
∴DC = DB。在△DBH和△DCA中，$\begin{cases} \angle DBH = \angle DCA \\ DB = DC \\ \angle BDH = \angle CDA \end{cases}$，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH = CA。
(2)如图，连接CG。
∵F为BC的中点，DB = DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG = CG。
∵BE⊥AC，
∴∠BEA = ∠BEC = 90°。在△ABE和△CBE中，$\begin{cases} \angle ABE = \angle CBE \\ BE = BE \\ \angle BEA = \angle BEC \end{cases}$，
∴△ABE≌△CBE，
∴EA = EC。
∵在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG² - GE² = EC²，
∴BG² - GE² = EA²