幂的乘方，底数________，指数________.即 $(a^m)^n=\_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$为正整数）.

底数 不变，指数 相乘，$(a^m)^n=a^{mn}$

【分析】
本题考查幂的乘方的基本运算法则，解题时可结合幂的乘方的推导过程回忆规律：$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘，根据同底数幂的乘法法则，多个同底数幂相乘时底数不变、指数相加，n个m相加的结果为$mn$，因此可推出幂的乘方的运算规律，对应完成填空即可。
【解析】
根据幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示该法则为$(a^m)^n=a^{mn}$（m，n为正整数），据此依次填空即可。
【答案】
不变；相乘；$a^{mn}$
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查对幂的乘方运算规则的记忆，该法则是整式乘除运算的核心基础规则之一，需要熟练掌握、准确运用。
【难度系数】
0.9

1. 计算$(a^2)^3$，下列结果正确的是（）

A.$a^6$
B.$a^5$
C.$2a^3$
D.$a^9$

1. A

【分析】
本题考查幂的乘方的运算，解题思路如下：首先识别算式的运算类型为幂的乘方，回忆幂的乘方的运算法则，再将法则套用至算式中计算出结果，最后匹配选项即可得到答案。要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，避免指数运算出错。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{m· n}$（$m$、$n$均为正整数）。
在算式$(a^2)^3$中，底数为$a$，两个指数分别为2和3，代入法则计算可得：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对幂的乘方运算法则的掌握，解题时注意不要将幂的乘方的“指数相乘”和同底数幂乘法的“指数相加”混淆，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 下列运算正确的是（）

A.$a + 2a^2 = 3a^2$
B.$a^3 · a^2 = a^6$
C.$(x^2)^3 = x^5$
D.$(-x^3)^2 = x^6$

2. D

【分析】
本题主要考查整式加减及幂的相关运算法则，解题时需逐一对应每个选项涉及的运算规则判断正误即可。首先回忆相关法则：①合并同类项：只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）才能合并，合并时系数相加，字母和字母的指数不变；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加；③幂的乘方：底数不变，指数相乘；④积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。接下来用上述法则逐个判断四个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a$和$2a^2$中$a$的指数分别为1和2，不是同类项，不能直接合并，因此该运算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5≠ a^6$，因此该运算错误；
C选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6≠ x^5$，因此该运算错误；
D选项：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-x^3)^2=(-1)^2·(x^3)^2=1× x^{3×2}=x^6$，因此该运算正确。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，核心是要准确区分不同幂运算中指数的计算规则，避免出现指数相加、相乘混淆的情况，同时要注意积的乘方中的符号处理。
【难度系数】
0.8

3. 计算:
(1) $(10^3)^3=$;
(2) $(x^2)^5=$;
(3) $-(a^2)^7=$;
(4) $(-a^5)^2=$.

3. (1) $10^9$ (2) $x^{10}$ (3) $-a^{14}$ (4) $a^{10}$

【分析】
本题考查幂的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），即底数不变，指数相乘；其次运算时注意区分负号的位置：负号在括号外时，先计算括号内的幂的乘方，再添加负号；负号在括号内时，先根据乘方的奇偶性判断符号，再计算幂的乘方，按照这个规则逐个计算4个小题即可。
【解析】
根据幂的乘方法则逐个计算：
(1) $(10^3)^3$，底数10保持不变，指数相乘得$3×3=9$，因此结果为$10^9$；
(2) $(x^2)^5$，底数x保持不变，指数相乘得$2×5=10$，因此结果为$x^{10}$；
(3) $-(a^2)^7$，先计算括号内的幂的乘方：底数a不变，指数相乘得$2×7=14$，即$a^{14}$，再添加括号外的负号，因此结果为$-a^{14}$；
(4) $(-a^5)^2$，先判断符号：指数2是偶数，负数的偶次幂为正，再计算幂的乘方：底数a不变，指数相乘得$5×2=10$，因此结果为$a^{10}$。
【答案】
(1) $10^9$ (2) $x^{10}$ (3) $-a^{14}$ (4) $a^{10}$
【知识点】
幂的乘方运算；乘方符号判定
【点评】
本题是幂的乘方的基础运算题，重点考查对幂的乘方法则的掌握程度，运算时要格外注意负号的位置，区分负号在括号内、外的不同运算规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9

4. 计算：
(1) $(a^{2m})^{3n}$；
(2) $(-a^{m+2})^{3}$；
(3) $[(a+b)^{2}]^{3}$。

(1) $a^{6mn}$ (2) $-a^{3m+6}$ (3) $(a+b)^6$

【分析】
本题三道小题均为幂的乘方运算类题目，解题核心是运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^x)^y=a^{xy}$（x、y为正整数）。解题思路如下：①第(1)题底数为单独的字母a，直接套用公式，将两个指数2m和3n相乘即可；②第(2)题底数前带有负号，先将负号转化为-1的乘方，先计算-1的3次幂的符号，再对a的幂部分套用幂的乘方法则计算，注意指数乘开时要分配到括号内的每一项；③第(3)题底数是多项式$(a+b)$，可将其看作一个整体作为底数，直接套用幂的乘方法则计算指数即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘：
$(a^{2m})^{3n}=a^{2m × 3n}=a^{6mn}$
(2) 先拆分负号，再分别计算乘方：
$(-a^{m+2})^{3}=(-1)^3 × (a^{m+2})^3=-1 × a^{3(m+2)}=-a^{3m+6}$
(3) 将$(a+b)$看作整体作为底数，套用幂的乘方法则：
$[(a+b)^{2}]^{3}=(a+b)^{2 × 3}=(a+b)^6$
【答案】
(1) $a^{6mn}$ (2) $-a^{3m+6}$ (3) $(a+b)^6$
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 乘方符号判定
3. 整体底数运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础巩固题型，重点考查对幂的乘方法则的理解与运用，易错点为第(2)题的符号处理和指数分配错误，以及第(3)题错误拆分底数$(a+b)$，计算时牢记法则、细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

◎ $a^{mn}=$ $=$ （$m$，$n$为正整数）.

$(a^m)^n$，$(a^n)^m$

【分析】
拿到本题首先定位考查幂的乘方相关知识，回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即公式为$(a^x)^y=a^{xy}$（x、y为正整数）。题目给出的是指数为两个正整数乘积的形式，属于幂的乘方公式的逆用场景，又因为正整数乘法满足交换律，$mn=nm$，所以既可以将$m$作为内层幂的指数、$n$作为外层乘方的次数，也可以将$n$作为内层幂的指数、$m$作为外层乘方的次数，即可得到两个符合要求的结果。
【解析】
根据幂的乘方的运算法则：$(a^x)^y=a^{x· y}$（$x$、$y$均为正整数），逆用该公式可得：
因为$m$、$n$为正整数，且$m× n=n× m$，
所以$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$。
【答案】
$(a^m)^n$，$(a^n)^m$
【知识点】
幂的乘方法则，逆用幂的乘方公式
【点评】
本题属于幂的运算模块的基础题型，重点考查对幂的乘方公式的理解与灵活运用，熟练掌握幂运算公式的正推、逆推逻辑，是后续解决复杂整式运算问题的基础。
【难度系数】
0.9

1. $a^{10}$ 可写成（）

A.$a^8 + a^2$
B.$a^5 · a^2$
C.$a^5 + a^5$
D.$(a^5)^2$

1. D

【分析】
这道题考查整式的相关运算规则，解题思路是依次计算每个选项的运算结果，再与$a^{10}$对比判断是否符合。首先需要明确三类运算的规则：1. 合并同类项：只有同类项才能合并，合并时系数相加，字母和字母的指数不变；2. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；3. 幂的乘方：底数不变，指数相乘。接下来逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^8$与$a^2$不是同类项，无法合并，结果不等于$a^{10}$，该选项错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$a^5· a^2=a^{5+2}=a^7≠ a^{10}$，该选项错误；
选项C：$a^5+a^5$是同类项合并，结果为$2a^5≠ a^{10}$，该选项错误；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^5)^2=a^{5×2}=a^{10}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分不同整式运算的指数计算规则，避免混淆同底数幂相乘、幂的乘方的指数运算规律，以及区分加法合并同类项和乘法运算的差异，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 若$3^m = n$，则$3^{2m} = \_\_\_\_\_\_.$

$n^2$

【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的底数、指数特征：二者底数均为3，待求式的指数2m是已知式指数m的2倍，因此可以联想到幂的乘方运算法则的逆用，将待求式变形为含$3^m$的形式，再整体代入已知条件即可求出结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），逆用该法则可得：
$3^{2m}=(3^m)^2$
已知$3^m=n$，将其代入上式得：
$(3^m)^2=n^2$
【答案】
$n^2$
【知识点】
幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题是基础运算题，核心考查幂的乘方法则的逆用，解题关键是准确识别待求式与已知式的指数关系，通过变形后整体代入计算即可，属于对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.9

3. 已知 $ a^m=3 $，$ a^n=2 $，则 $ a^{m+3n}= $ .

3. 24

【分析】
解题时先观察待求式的指数为和的形式，首先想到逆用同底数幂的乘法法则，将$a^{m+3n}$拆分为$a^m$与$a^{3n}$的乘积；再观察$a^{3n}$的指数为乘积形式，逆用幂的乘方法则将其变形为$(a^n)^3$，最后将已知的$a^m=3$、$a^n=2$代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：逆用幂的运算性质逐步变形计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{x+y}=a^x· a^y$，可得：
$a^{m+3n}=a^m · a^{3n}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{xy}=(a^x)^y$，可得：
$a^{3n}=(a^n)^3$
3. 将$a^m=3$，$a^n=2$代入式子计算：
$a^{m+3n}=a^m · (a^n)^3 = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24$
【答案】
24
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算法则的逆用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算性质，能结合待求式的结构对公式进行灵活变形，是幂运算板块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

【知识点3】积的乘方
◎ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别，再把所得的幂. 即$(ab)^n=$（$n$为正整数）.

乘方，相乘，$a^nb^n$

【分析】
这道题考查积的乘方的基本运算法则，属于概念识记类题目。解题时只需要回忆教材中积的乘方法则的具体内容，对应空缺位置依次填写即可。首先明确积的乘方的运算逻辑：先对积中的每一个因式分别做乘方运算，再将得到的各个幂相乘，最后对应写出字母表示的公式即可。
【解析】
根据积的乘方的运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母公式表示该法则为$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），因此三个空缺依次对应填写对应内容即可。
【答案】
乘方，相乘，$a^nb^n$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对积的乘方运算性质的记忆，熟练掌握幂的各类运算的基本法则是解答此类填空题的核心。
【难度系数】
0.9

1. 计算$(ab^3)^2$的结果是（）

A.$a^2b^2$
B.$a^2b^3$
C.$a^2b^6$
D.$ab^6$

1. C

【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆相关运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方的运算规则是底数不变，指数相乘。先对原式用积的乘方法则拆分为两个因式分别乘方的形式，再对含b的项用幂的乘方法则计算，最后合并结果匹配选项即可。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(ab^3)^2 = a^2 · (b^3)^2$
再根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(b^3)^2 = b^{3×2} = b^6$
因此$(ab^3)^2 = a^2 b^6$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的相关运算法则的掌握程度，解题时要注意不要遗漏对因式$a$的乘方运算，同时区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.9

2. 下列等式错误的是（）

A.$(2mn)^2=4m^2n^2$
B.$(-2mn)^2=4m^2n^2$
C.$(2m^2n^2)^3=8m^6n^6$
D.$(-2m^2n^2)^3=-8m^5n^5$

2. D

【分析】
本题需要判断幂的运算类等式的正误，核心解题思路是运用积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一计算每个选项的正确结果，再和选项给出的结果对比，找出错误的选项。首先回忆两个运算法则：1.积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：计算$(2mn)^2$，根据积的乘方法则，$2^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项结果一致，等式正确，不符合题意。
B选项：计算$(-2mn)^2$，根据积的乘方法则，$(-2)^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项结果一致，等式正确，不符合题意。
C选项：计算$(2m^2n^2)^3$，先算积的乘方得$2^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，再根据幂的乘方法则，$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$，$(n^2)^3=n^{2×3}=n^6$，最终结果为$8m^6n^6$，与选项结果一致，等式正确，不符合题意。
D选项：计算$(-2m^2n^2)^3$，先算积的乘方得$(-2)^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，计算得$-8· m^6· n^6=-8m^6n^6$，和选项给出的$-8m^5n^5$不一致，等式错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握幂的相关运算法则，计算时要特别注意符号的判断以及指数的运算规则，避免出现指数相加的错误。
【难度系数】
0.8