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10. 某服装厂生产一种唐装和帽子，每套唐装定价400元，每顶帽子定价80元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套唐装送一顶帽子；②唐装和帽子都按定价的90％付款.现某客户要到该服装厂购买唐装20套，帽子$x$顶（$x＞20$）.
（1）若客户按方案①购买，则需付款
（2）当客户购买多少顶帽子时，两种优惠方案所需钱数相同？
（3）若客户购买了30顶帽子，通过计算说明客户按哪种方案购买较为划算.
（1）若客户按方案①购买，则需付款
80x+6 400
（用含$x$的代数式表示）元；若客户按方案②购买，则需付款72x+7 200
（用含$x$的代数式表示）元.（2）当客户购买多少顶帽子时，两种优惠方案所需钱数相同？
（3）若客户购买了30顶帽子，通过计算说明客户按哪种方案购买较为划算.
答案
10. 解 (1) $(80x+6\ 400)$ $(72x+7\ 200)$
(2) 由题意，列得方程 $80x+6\ 400=72x+7\ 200$。解得$x=100$。答：当客户购买100顶帽子时，两种优惠方案所需费用相同。
(3) 当客户购买30顶帽子时，按方案①购买，所需费用为$80×30+6\ 400=8\ 800$（元）；按方案②购买，所需费用为$72×30+7\ 200=9\ 360$（元）。所以按方案①购买较为划算。
(2) 由题意，列得方程 $80x+6\ 400=72x+7\ 200$。解得$x=100$。答：当客户购买100顶帽子时，两种优惠方案所需费用相同。
(3) 当客户购买30顶帽子时，按方案①购买，所需费用为$80×30+6\ 400=8\ 800$（元）；按方案②购买，所需费用为$72×30+7\ 200=9\ 360$（元）。所以按方案①购买较为划算。
解析
【分析】
（1）先明确两种优惠方案的计费规则：方案①是买1套唐装送1顶帽子，购买20套唐装可获赠20顶帽子，因此只需为超出20顶的部分支付帽子费用，总费用=20套唐装的总价+超出20顶部分的帽子总价；方案②是所有商品都按定价的9折付款，总费用=（20套唐装总价+x顶帽子总价）×90%，分别整理即可得到对应代数式。
（2）要让两种方案费用相同，只需令第一问得到的两个代数式相等，建立一元一次方程，求解即可得到对应的帽子数量。
（3）把x=30分别代入两个代数式计算费用，比较数值大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
（1）按方案①购买：
20套唐装的费用为$20×400=8000$元，赠送20顶帽子，还需购买$(x-20)$顶帽子，这部分帽子费用为$80(x-20)$元，
总费用$=8000+80(x-20)=80x+6400$元；
按方案②购买：
20套唐装和x顶帽子的原价总和为$20×400+80x=8000+80x$元，打9折后总费用$=0.9×(8000+80x)=72x+7200$元。
（2）令两种方案费用相等，列方程：
$80x+6400=72x+7200$
移项得：$80x-72x=7200-6400$
合并同类项得：$8x=800$
解得：$x=100$
即购买100顶帽子时，两种方案费用相同。
（3）当$x=30$时：
方案①费用：$80×30+6400=2400+6400=8800$元；
方案②费用：$72×30+7200=2160+7200=9360$元；
因为$8800＜9360$，所以方案①更划算。
【答案】
(1) $(80x+6400)$；$(72x+7200)$
(2) 当客户购买100顶帽子时，两种优惠方案所需费用相同。
(3) 按方案①购买较为划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，贴近实际，主要考查学生用代数式表示数量关系、求解一元一次方程以及比较选择最优方案的能力，解题的关键是准确理解不同优惠方案的计费规则。
【难度系数】
0.7
（1）先明确两种优惠方案的计费规则：方案①是买1套唐装送1顶帽子，购买20套唐装可获赠20顶帽子，因此只需为超出20顶的部分支付帽子费用，总费用=20套唐装的总价+超出20顶部分的帽子总价；方案②是所有商品都按定价的9折付款，总费用=（20套唐装总价+x顶帽子总价）×90%，分别整理即可得到对应代数式。
（2）要让两种方案费用相同，只需令第一问得到的两个代数式相等，建立一元一次方程，求解即可得到对应的帽子数量。
（3）把x=30分别代入两个代数式计算费用，比较数值大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
（1）按方案①购买：
20套唐装的费用为$20×400=8000$元，赠送20顶帽子，还需购买$(x-20)$顶帽子，这部分帽子费用为$80(x-20)$元，
总费用$=8000+80(x-20)=80x+6400$元；
按方案②购买：
20套唐装和x顶帽子的原价总和为$20×400+80x=8000+80x$元，打9折后总费用$=0.9×(8000+80x)=72x+7200$元。
（2）令两种方案费用相等，列方程：
$80x+6400=72x+7200$
移项得：$80x-72x=7200-6400$
合并同类项得：$8x=800$
解得：$x=100$
即购买100顶帽子时，两种方案费用相同。
（3）当$x=30$时：
方案①费用：$80×30+6400=2400+6400=8800$元；
方案②费用：$72×30+7200=2160+7200=9360$元；
因为$8800＜9360$，所以方案①更划算。
【答案】
(1) $(80x+6400)$；$(72x+7200)$
(2) 当客户购买100顶帽子时，两种优惠方案所需费用相同。
(3) 按方案①购买较为划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，贴近实际，主要考查学生用代数式表示数量关系、求解一元一次方程以及比较选择最优方案的能力，解题的关键是准确理解不同优惠方案的计费规则。
【难度系数】
0.7
11. 一个自行车队进行训练，训练时所有队员同时出发，3号队员以50 km/h的速度独自行进，其他队员都以40 km/h的速度前进，3号队员行进20 km后掉转车头，仍以50 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，设3号队员从离队开始到与队员重新会合经过了$x$ h，则$x$的值是（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
D
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
11. D 解析 根据3号队员与其他队员一共行驶$2×20\ \mathrm{km}$，列得方程$40x+50x=2×20$，解得$x=\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
这是一道用一元一次方程解决的行程类问题，首先梳理运动过程：3号队员以更快的速度向前行进20km后掉头返回，直到和其他队员会合，整个过程的总时长为x h。解题核心是找到等量关系：在x h的总时间里，3号队员行驶的总路程与其他队员行驶的总路程之和，恰好等于2倍的20km（即3号队员向前走的20km路程，和后续返程与队员共同覆盖的距离总和刚好是两个20km），依据该等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：由题意得，x h内3号队员行驶的路程为$50x$ km，其他队员行驶的路程为$40x$ km，两者路程和为$2×20$ km，列方程：
$40x+50x=2×20$
合并同类项得：$90x=40$
系数化为1得：$x=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}$
【答案】D
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题
【点评】
本题是典型的行程场景下的方程应用题，解题关键是找准两个运动主体的路程等量关系，本题用总路程和的思路比分段计算更简便，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
这是一道用一元一次方程解决的行程类问题，首先梳理运动过程：3号队员以更快的速度向前行进20km后掉头返回，直到和其他队员会合，整个过程的总时长为x h。解题核心是找到等量关系：在x h的总时间里，3号队员行驶的总路程与其他队员行驶的总路程之和，恰好等于2倍的20km（即3号队员向前走的20km路程，和后续返程与队员共同覆盖的距离总和刚好是两个20km），依据该等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：由题意得，x h内3号队员行驶的路程为$50x$ km，其他队员行驶的路程为$40x$ km，两者路程和为$2×20$ km，列方程：
$40x+50x=2×20$
合并同类项得：$90x=40$
系数化为1得：$x=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}$
【答案】D
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题
【点评】
本题是典型的行程场景下的方程应用题，解题关键是找准两个运动主体的路程等量关系，本题用总路程和的思路比分段计算更简便，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
12. 一艘船往返于A，B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行. 已知该船在静水中航行的速度是20 km/h，由A地到B地用了6 h，由B地到A地所用时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流的速度.
答案
12. 解 设水流的速度为$x$ km/h，根据题意，得$6(20+x)=(20-x)×6×1.5$，解得$x=4$。答：水流的速度为4 km/h。
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题核心突破口是A、B两地的路程固定，往返路程相等。首先要明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以设水流速度为未知数，分别用“速度×时间”表示出顺水、逆水行驶的总路程，再根据路程相等列一元一次方程，求解方程即可得到水流速度。
【解析】
解：设水流的速度为$ x $ km/h。
1. 计算逆水航行时间：由题意得，逆水航行用时为$ 6×1.5=9 $ h。
2. 根据往返路程相等列方程：
顺水行驶路程为$ 6(20+x) $，逆水行驶路程为$ 9(20-x) $，因此列方程：
$ 6(20+x)=(20-x)×6×1.5 $
3. 解方程：
化简得：$ 120+6x=180-9x $
移项得：$ 6x+9x=180-120 $
合并同类项得：$ 15x=60 $
系数化为1得：$ x=4 $
经检验，$ x=4 $符合实际题意。
答：水流的速度为4 km/h。
【答案】
水流的速度为4 km/h
【知识点】
1. 流水行船速度公式 2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的典型题型，解题关键是抓住往返路程不变的隐含等量关系，注意计算过程中不要混淆顺水和逆水的速度表达式，理清数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题核心突破口是A、B两地的路程固定，往返路程相等。首先要明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以设水流速度为未知数，分别用“速度×时间”表示出顺水、逆水行驶的总路程，再根据路程相等列一元一次方程，求解方程即可得到水流速度。
【解析】
解：设水流的速度为$ x $ km/h。
1. 计算逆水航行时间：由题意得，逆水航行用时为$ 6×1.5=9 $ h。
2. 根据往返路程相等列方程：
顺水行驶路程为$ 6(20+x) $，逆水行驶路程为$ 9(20-x) $，因此列方程：
$ 6(20+x)=(20-x)×6×1.5 $
3. 解方程：
化简得：$ 120+6x=180-9x $
移项得：$ 6x+9x=180-120 $
合并同类项得：$ 15x=60 $
系数化为1得：$ x=4 $
经检验，$ x=4 $符合实际题意。
答：水流的速度为4 km/h。
【答案】
水流的速度为4 km/h
【知识点】
1. 流水行船速度公式 2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的典型题型，解题关键是抓住往返路程不变的隐含等量关系，注意计算过程中不要混淆顺水和逆水的速度表达式，理清数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
