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定义: 如果两个分式 $ M $ 与 $ N $ 的和为常数 $ k $，且 $ k $ 为正整数，那么称 $ M $ 与 $ N $ 互为“和整分式”，常数 $ k $ 称为“和整数值”。
例如，若 $ M=\dfrac{x}{x+1} $，$ N=\dfrac{1}{x+1} $，$ M+N=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=1 $，则 $ M $ 与 $ N $ 互为“和整分式”，“和整数值” $ k $ 为 1。
(1) 已知分式 $ A=\dfrac{x-7}{x-2} $，$ B=\dfrac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $，判断 $ A $ 与 $ B $ 是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值” $ k $；若不是，则说明理由。
(2) 已知分式 $ C=\dfrac{3x-4}{x-2} $，$ D=\dfrac{P}{x^2-4} $，$ C $ 与 $ D $ 互为“和整分式”，且“和整数值” $ k $ 为 3。
①求 $ P $ 所表示的代数式；
②若分式 $ D $ 的值为正整数，求正整数 $ x $ 的值。
解 (1) $ A+B=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $
$=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}$
$=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{x+3}{x-2}$
$=\dfrac{2x-4}{x-2}$
$=\dfrac{2(x-2)}{x-2}$
$=2$
所以 $ A $ 与 $ B $ 互为“和整分式”，“和整数值” $ k $ 为 2。
(2) ①$ C+D=\dfrac{3x-4}{x-2}+\dfrac{P}{x^2-4} $
$=\dfrac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{P}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}$。
因为 $ C $ 与 $ D $ 互为“和整分式”，且“和整数值” $ k $ 为 3，
所以 $ \dfrac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3 $，即 $ 3x^2+2x-8+P=3(x+2)(x-2) $。
所以 $ P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4 $。
②因为 $ D=\dfrac{P}{x^2-4}=\dfrac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\dfrac{2}{x-2} $，
且分式 $ D $ 的值为正整数，$ x $ 为正整数，
所以 $ x-2=-1 $ 或 $ x-2=-2 $。
解得 $ x=1 $ 或 $ x=0 $（舍去）。
所以正整数 $ x $ 的值为 1。
例如，若 $ M=\dfrac{x}{x+1} $，$ N=\dfrac{1}{x+1} $，$ M+N=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=1 $，则 $ M $ 与 $ N $ 互为“和整分式”，“和整数值” $ k $ 为 1。
(1) 已知分式 $ A=\dfrac{x-7}{x-2} $，$ B=\dfrac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $，判断 $ A $ 与 $ B $ 是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值” $ k $；若不是，则说明理由。
(2) 已知分式 $ C=\dfrac{3x-4}{x-2} $，$ D=\dfrac{P}{x^2-4} $，$ C $ 与 $ D $ 互为“和整分式”，且“和整数值” $ k $ 为 3。
①求 $ P $ 所表示的代数式；
②若分式 $ D $ 的值为正整数，求正整数 $ x $ 的值。
解 (1) $ A+B=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $
$=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}$
$=\dfrac{x-7}{x-2}+\dfrac{x+3}{x-2}$
$=\dfrac{2x-4}{x-2}$
$=\dfrac{2(x-2)}{x-2}$
$=2$
所以 $ A $ 与 $ B $ 互为“和整分式”，“和整数值” $ k $ 为 2。
(2) ①$ C+D=\dfrac{3x-4}{x-2}+\dfrac{P}{x^2-4} $
$=\dfrac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{P}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}$。
因为 $ C $ 与 $ D $ 互为“和整分式”，且“和整数值” $ k $ 为 3，
所以 $ \dfrac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3 $，即 $ 3x^2+2x-8+P=3(x+2)(x-2) $。
所以 $ P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4 $。
②因为 $ D=\dfrac{P}{x^2-4}=\dfrac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\dfrac{2}{x-2} $，
且分式 $ D $ 的值为正整数，$ x $ 为正整数，
所以 $ x-2=-1 $ 或 $ x-2=-2 $。
解得 $ x=1 $ 或 $ x=0 $（舍去）。
所以正整数 $ x $ 的值为 1。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
因为2是正整数，满足“和整分式”的定义，
所以$A$与$B$互为“和整分式”，“和整数值”$k$为2。
(2) ①
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，即
$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4$
② 由①得：
$\begin{aligned}D&=\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，
所以$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$，
又$x$是正整数，故$x=0$舍去。
所以正整数$x$的值为1。
(1)
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
因为2是正整数，满足“和整分式”的定义，
所以$A$与$B$互为“和整分式”，“和整数值”$k$为2。
(2) ①
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，即
$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4$
② 由①得：
$\begin{aligned}D&=\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，
所以$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$，
又$x$是正整数，故$x=0$舍去。
所以正整数$x$的值为1。
解析
【分析】
本题为新定义类题目，解题核心是准确把握“和整分式”的定义：若两个分式的和为正整数，则这两个分式互为“和整分式”。
(1) 思路：先对B的分子因式分解，约去公因式化简B，再与A通分相加，判断结果是否为正整数即可完成判断。
(2) ①思路：先将C、D通分合并为同分母分式，根据“和整数值”为3，可得合并后的分式等于3，两边同乘公分母转化为整式等式，整理即可求出P的代数式；②思路：将求得的P代入D的表达式，约分化简后，结合D的值为正整数、x为正整数，同时考虑分式有意义的条件（分母不为0），筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
因为2是正整数，满足“和整分式”的定义，所以A与B互为“和整分式”，“和整数值”k为2。
(2) ①
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，即$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4$
② 由①得：
$\begin{aligned}D&=\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，
所以$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$，
又$x$是正整数，故$x=0$舍去。
所以正整数$x$的值为1。
【答案】
(1) A与B互为“和整分式”，和整数值$k=2$；
(2) ①$P=-2x-4$；②正整数$x$的值为$1$。
【知识点】
分式的加减运算，分式有意义的条件，新定义运算
【点评】
本题以新定义为背景，综合考查分式化简、整式运算及整数解的求解，解题关键是紧扣新定义要求，熟练掌握分式运算法则，注意分式约分、求值时要满足分母不为0的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
本题为新定义类题目，解题核心是准确把握“和整分式”的定义：若两个分式的和为正整数，则这两个分式互为“和整分式”。
(1) 思路：先对B的分子因式分解，约去公因式化简B，再与A通分相加，判断结果是否为正整数即可完成判断。
(2) ①思路：先将C、D通分合并为同分母分式，根据“和整数值”为3，可得合并后的分式等于3，两边同乘公分母转化为整式等式，整理即可求出P的代数式；②思路：将求得的P代入D的表达式，约分化简后，结合D的值为正整数、x为正整数，同时考虑分式有意义的条件（分母不为0），筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
因为2是正整数，满足“和整分式”的定义，所以A与B互为“和整分式”，“和整数值”k为2。
(2) ①
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，即$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4$
② 由①得：
$\begin{aligned}D&=\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，
所以$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$，
又$x$是正整数，故$x=0$舍去。
所以正整数$x$的值为1。
【答案】
(1) A与B互为“和整分式”，和整数值$k=2$；
(2) ①$P=-2x-4$；②正整数$x$的值为$1$。
【知识点】
分式的加减运算，分式有意义的条件，新定义运算
【点评】
本题以新定义为背景，综合考查分式化简、整式运算及整数解的求解，解题关键是紧扣新定义要求，熟练掌握分式运算法则，注意分式约分、求值时要满足分母不为0的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
5. 定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“A分式”。如：$\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$，则$\frac{x+1}{x-1}$是“A分式”。
（1）将$\frac{a^2 - 2a + 4}{a - 1}$化成“A分式”的结果为________；
（2）化简$\frac{5x+9}{x+1} - \frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x}$，并求当$x$取什么整数时，该式的值为整数。
（1）将$\frac{a^2 - 2a + 4}{a - 1}$化成“A分式”的结果为________；
（2）化简$\frac{5x+9}{x+1} - \frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x}$，并求当$x$取什么整数时，该式的值为整数。
答案
解（1）$a-1+\dfrac{3}{a-1}$
（2）原式$=\dfrac{5x+9}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}·\dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{5x+9}{x+1}-\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{4x+7}{x+1}=\dfrac{4x+4+3}{x+1}=4+\dfrac{3}{x+1}$。
因为$x$为整数，
所以当$x+1=±1$或$±3$时，$\dfrac{3}{x+1}$为整数。
此时$x$的值是0或$-2$或2或$-4$。
当分式有意义时，$x$的值不能为0，1，$-1$，$-2$，所以$x$的值为2或$-4$。
（2）原式$=\dfrac{5x+9}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}·\dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{5x+9}{x+1}-\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{4x+7}{x+1}=\dfrac{4x+4+3}{x+1}=4+\dfrac{3}{x+1}$。
因为$x$为整数，
所以当$x+1=±1$或$±3$时，$\dfrac{3}{x+1}$为整数。
此时$x$的值是0或$-2$或2或$-4$。
当分式有意义时，$x$的值不能为0，1，$-1$，$-2$，所以$x$的值为2或$-4$。
解析
【分析】
（1）第一问需结合“A分式”的定义，将分子凑成含分母因式的整式加常数的形式，再拆分分式即可。首先把分子$a^2 - 2a + 4$变形为$(a-1)^2 + 3$，再拆分就能得到A分式形式。
（2）第二问先按照分式混合运算顺序计算：先算除法，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再计算同分母分式的减法，把结果化为“A分式”形式；再根据结果为整数确定分母的可能取值，最后结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出符合要求的整数$x$。
【解析】
（1）对$\frac{a^2 - 2a + 4}{a - 1}$变形：
分子$a^2 -2a +4 = (a^2 -2a +1) +3 = (a-1)^2 +3$
则原式$=\frac{(a-1)^2 +3}{a-1} = \frac{(a-1)^2}{a-1} + \frac{3}{a-1} = a-1 + \frac{3}{a-1}$
（2）先化简原式：
先计算除法：$\frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x} = \frac{x-1}{x} × \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+2}{x+1}$
再计算减法：
原式$=\frac{5x+9}{x+1} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{5x+9 - (x+2)}{x+1} = \frac{4x+7}{x+1}$
将结果化为“A分式”：
$\frac{4x+7}{x+1} = \frac{4(x+1) +3}{x+1} = 4 + \frac{3}{x+1}$
若式子的值为整数，则$\frac{3}{x+1}$为整数，即$x+1$是3的整数约数，
因此$x+1 = ±1$或$±3$，解得$x=0$、$x=-2$、$x=2$、$x=-4$。
结合分式有意义的条件：分母不为0，得$x≠0$、$x≠±1$、$x≠-2$，排除不符合的取值后，得$x=2$或$x=-4$。
【答案】
（1）$a-1+\dfrac{3}{a-1}$
（2）化简结果为$4+\dfrac{3}{x+1}$，当$x=2$或$x=-4$时，该式的值为整数
【知识点】
新定义运算，分式混合运算，分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义考查分式的相关运算，解题关键是准确理解新定义规则，熟练掌握分式运算的法则，要特别注意分式求值时需先满足分式有意义的要求，不要忽略分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
（1）第一问需结合“A分式”的定义，将分子凑成含分母因式的整式加常数的形式，再拆分分式即可。首先把分子$a^2 - 2a + 4$变形为$(a-1)^2 + 3$，再拆分就能得到A分式形式。
（2）第二问先按照分式混合运算顺序计算：先算除法，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再计算同分母分式的减法，把结果化为“A分式”形式；再根据结果为整数确定分母的可能取值，最后结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出符合要求的整数$x$。
【解析】
（1）对$\frac{a^2 - 2a + 4}{a - 1}$变形：
分子$a^2 -2a +4 = (a^2 -2a +1) +3 = (a-1)^2 +3$
则原式$=\frac{(a-1)^2 +3}{a-1} = \frac{(a-1)^2}{a-1} + \frac{3}{a-1} = a-1 + \frac{3}{a-1}$
（2）先化简原式：
先计算除法：$\frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x} = \frac{x-1}{x} × \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+2}{x+1}$
再计算减法：
原式$=\frac{5x+9}{x+1} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{5x+9 - (x+2)}{x+1} = \frac{4x+7}{x+1}$
将结果化为“A分式”：
$\frac{4x+7}{x+1} = \frac{4(x+1) +3}{x+1} = 4 + \frac{3}{x+1}$
若式子的值为整数，则$\frac{3}{x+1}$为整数，即$x+1$是3的整数约数，
因此$x+1 = ±1$或$±3$，解得$x=0$、$x=-2$、$x=2$、$x=-4$。
结合分式有意义的条件：分母不为0，得$x≠0$、$x≠±1$、$x≠-2$，排除不符合的取值后，得$x=2$或$x=-4$。
【答案】
（1）$a-1+\dfrac{3}{a-1}$
（2）化简结果为$4+\dfrac{3}{x+1}$，当$x=2$或$x=-4$时，该式的值为整数
【知识点】
新定义运算，分式混合运算，分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义考查分式的相关运算，解题关键是准确理解新定义规则，熟练掌握分式运算的法则，要特别注意分式求值时需先满足分式有意义的要求，不要忽略分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
