9. (2024·广州)如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$,点$C$在$\odot O$上,$OC⊥ AB$,$∠ ABC=30°$.$\odot O$所在的平面内有一点$P$,若$OP=5$,则点$P$与$\odot O$的位置关系是 （ ）
A. 点$P$在$\odot O$上
B. 点$P$在$\odot O$内
C. 点$P$在$\odot O$外
D. 无法确定

C

10. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆.若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是________.

$3\lt r\lt5$

11. 如图，$△ ABC$ 是$\odot O$ 的内接三角形，且 $AB$ 是$\odot O$ 的直径，$P$ 为$\odot O$ 上的动点，且$∠ BPC=60°$，$\odot O$ 的半径为 6，则点 $P$ 到 $AC$ 距离的最大值是$\underline{\hspace{5em}}$．

$6 + 3\sqrt{3}$

12. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=4$,$DE ⊥ AC$于点$E$,$AF ⊥ BD$于点$F$.
(1) 求$AF$,$AE$的长;
(2) 若以点$A$为圆心作圆,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$五点中至少有一点在圆内,且至少有两点在圆外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.

解：（1）在矩形$ABCD$中，$AB = 3，$$AD = 4，$$\angle BAD = 90^{\circ}。$ 根据勾股定理$AC = BD=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。$ 因为$\frac{1}{2}AF\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot AD，$所以$AF=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}。$ 同理，$\frac{1}{2}DE\cdot AC=\frac{1}{2}AD\cdot CD，$$CD = AB = 3，$$AC = 5，$$AD = 4，$可得$DE=\frac{AD\cdot CD}{AC}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}。$ 在$Rt\triangle ADE$中，$AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{4^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400 - 144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}。$ （2）因为$AF=\frac{12}{5}，$$AB = 3，$$AE=\frac{16}{5}，$$AD = 4，$$AC = 5，$且$AF\lt AB\lt AE\lt AD\lt AC。$ 若以点$A$为圆心作圆，$B，$$C，$$D，$$E，$$F$五点中至少有一点在圆内，且至少有两点在圆外，则点$F$在圆内，点$D，$$C$在圆外。 所以$\odot A$的半径$r$的取值范围是$\frac{12}{5}\lt r\lt4。$

13. 如图，AD为$△ ABC$的外接圆的直径，$AD⊥ BC$，垂足为F，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
（1）求证：$BD=CD$；
（2）试判断B，E，C三点是否在以点D为圆心、DB长为半径的圆上，并说明理由.

第13题

（1）证明：因为$AD$为直径，$AD\perp BC，$根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}。$ 根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$BD = CD。$ （2）解:$B，$$E，$$C$三点在以点$D$为圆心、$DB$长为半径的圆上。 理由：由（1），知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}，$所以$\angle BAD=\angle CBD。$ 因为$BE$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle CBE=\angle ABE。$ 因为$\angle DBE=\angle CBD+\angle CBE，$$\angle DEB=\angle BAD+\angle ABE，$所以$\angle DBE=\angle DEB。$ 所以$BD = DE。$ 由（1），知$BD = CD，$所以$BD = DE = CD。$ 所以$B，$$E，$$C$三点在以点$D$为圆心、$DB$长为半径的圆上。