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9. (★★)已知$y$与$x+2$成反比例，且当$x=3$时，$y=4$。
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当$y=5$时，求$x$的值；
(3)当$x=-7$时，求$y$的值。
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当$y=5$时，求$x$的值；
(3)当$x=-7$时，求$y$的值。
答案
解：
(1) ∵ $y$与$x+2$成反比例，
∴ 设函数解析式为 $y=\frac{k}{x+2}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{3+2}$，
解得 $k=20$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{20}{x+2}$。
由分母不为0得 $x+2≠0$，即 $x≠-2$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $x≠-2$ 的全体实数。
(2) 把$y=5$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$5=\frac{20}{x+2}$，
两边同乘$x+2$得 $5(x+2)=20$，
解得 $x=2$。
检验：当$x=2$时，$x+2=4≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(3) 把$x=-7$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$y=\frac{20}{-7+2}=\frac{20}{-5}=-4$。
(1) ∵ $y$与$x+2$成反比例，
∴ 设函数解析式为 $y=\frac{k}{x+2}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{3+2}$，
解得 $k=20$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{20}{x+2}$。
由分母不为0得 $x+2≠0$，即 $x≠-2$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $x≠-2$ 的全体实数。
(2) 把$y=5$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$5=\frac{20}{x+2}$，
两边同乘$x+2$得 $5(x+2)=20$，
解得 $x=2$。
检验：当$x=2$时，$x+2=4≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(3) 把$x=-7$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$y=\frac{20}{-7+2}=\frac{20}{-5}=-4$。
解析
【分析】
解题时按照问题分步骤思考：1. 第(1)问，先根据y与x+2成反比例的条件，结合反比例的定义设出带待定系数k的函数解析式，再将x=3、y=4代入解析式求出k的取值，最后根据分式有意义的要求，分母不能为0，确定自变量x的取值范围；2. 第(2)问，已知y的值求x，直接将y=5代入已求出的函数解析式，解分式方程后检验分母是否为0，确认解的有效性；3. 第(3)问，已知x的值求y，将x=-7代入解析式直接计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $y$与$x+2$成反比例，
∴ 设函数解析式为 $y=\frac{k}{x+2}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{3+2}$，
解得 $k=20$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{20}{x+2}$。
由分母不为0得 $x+2≠0$，即 $x≠-2$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $x≠-2$ 的全体实数。
(2) 把$y=5$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$5=\frac{20}{x+2}$，
两边同乘$x+2$得 $5(x+2)=20$，
解得 $x=2$。
检验：当$x=2$时，$x+2=4≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(3) 把$x=-7$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$y=\frac{20}{-7+2}=\frac{20}{-5}=-4$。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{20}{x+2}}$，自变量取值范围是$\boldsymbol{x≠-2}$的全体实数；
(2) $\boldsymbol{x=2}$；
(3) $\boldsymbol{y=-4}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，重点考查对反比例关系的理解和待定系数法的应用，解题时要注意分式分母不为0的隐含条件，解分式方程后需检验解的合法性。
【难度系数】
0.8
解题时按照问题分步骤思考：1. 第(1)问，先根据y与x+2成反比例的条件，结合反比例的定义设出带待定系数k的函数解析式，再将x=3、y=4代入解析式求出k的取值，最后根据分式有意义的要求，分母不能为0，确定自变量x的取值范围；2. 第(2)问，已知y的值求x，直接将y=5代入已求出的函数解析式，解分式方程后检验分母是否为0，确认解的有效性；3. 第(3)问，已知x的值求y，将x=-7代入解析式直接计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $y$与$x+2$成反比例，
∴ 设函数解析式为 $y=\frac{k}{x+2}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{3+2}$，
解得 $k=20$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{20}{x+2}$。
由分母不为0得 $x+2≠0$，即 $x≠-2$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $x≠-2$ 的全体实数。
(2) 把$y=5$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$5=\frac{20}{x+2}$，
两边同乘$x+2$得 $5(x+2)=20$，
解得 $x=2$。
检验：当$x=2$时，$x+2=4≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(3) 把$x=-7$代入$y=\frac{20}{x+2}$，得：
$y=\frac{20}{-7+2}=\frac{20}{-5}=-4$。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{20}{x+2}}$，自变量取值范围是$\boldsymbol{x≠-2}$的全体实数；
(2) $\boldsymbol{x=2}$；
(3) $\boldsymbol{y=-4}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，重点考查对反比例关系的理解和待定系数法的应用，解题时要注意分式分母不为0的隐含条件，解分式方程后需检验解的合法性。
【难度系数】
0.8
10. (★)若函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数，则$m$的值是
【 】
A.2
B.-1
C.1
D.$\pm1$
【 】
A.2
B.-1
C.1
D.$\pm1$
答案
B
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数的通用形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个核心条件：①自变量$x$的指数等于-1；②$x$的系数不等于0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，取公共解即可得到m的取值。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的指数为-1：
$|m|-2=-1$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0：
$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，最终可得$m=-1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，误选D选项，解题时要注意全面核对定义的所有要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数的通用形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个核心条件：①自变量$x$的指数等于-1；②$x$的系数不等于0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，取公共解即可得到m的取值。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的指数为-1：
$|m|-2=-1$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0：
$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，最终可得$m=-1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，误选D选项，解题时要注意全面核对定义的所有要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
11.(★)下列三个问题中都有两个变量:
①面积一定的等腰三角形,底边上的高y与底边长x;②计划从A地到B地铺设一定长度的铁轨,每日铺设长度y与铺设天数x;③将游泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间x.其中,变量y与变量x满足反比例函数关系的是
【 】
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
①面积一定的等腰三角形,底边上的高y与底边长x;②计划从A地到B地铺设一定长度的铁轨,每日铺设长度y与铺设天数x;③将游泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间x.其中,变量y与变量x满足反比例函数关系的是
【 】
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
A
解析
【分析】
要判断两个变量是否满足反比例函数关系，首先明确反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐一推导三个情境中$y$和$x$的数量关系，对照反比例函数特征判断即可。
【解析】
反比例函数的定义为：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，等价于$xy=k$（$k$为非零定值）。我们逐个分析三个情境：
①设等腰三角形的面积为定值$S$，由三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}xy$，整理得$xy=2S$（$2S$为非零定值），符合反比例函数特征，故$y$与$x$是反比例函数关系；
②设铁轨总长度为定值$L$，由总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$L=xy$，即$xy=L$（$L$为非零定值），符合反比例函数特征，故$y$与$x$是反比例函数关系；
③设泳池初始水量为$Q$，匀速放水的速度为$v$（均为定值），则剩余水量$y=Q-vx$，属于一次函数关系，不符合反比例函数特征。
综上，①②满足反比例函数关系，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.实际问题的函数关系识别
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例函数定义的理解，以及结合实际情境分析函数关系的能力，解题的关键是抓住反比例函数“两变量乘积为定值”的核心特征，注意和一次函数等其他函数关系区分。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否满足反比例函数关系，首先明确反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐一推导三个情境中$y$和$x$的数量关系，对照反比例函数特征判断即可。
【解析】
反比例函数的定义为：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，等价于$xy=k$（$k$为非零定值）。我们逐个分析三个情境：
①设等腰三角形的面积为定值$S$，由三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}xy$，整理得$xy=2S$（$2S$为非零定值），符合反比例函数特征，故$y$与$x$是反比例函数关系；
②设铁轨总长度为定值$L$，由总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$L=xy$，即$xy=L$（$L$为非零定值），符合反比例函数特征，故$y$与$x$是反比例函数关系；
③设泳池初始水量为$Q$，匀速放水的速度为$v$（均为定值），则剩余水量$y=Q-vx$，属于一次函数关系，不符合反比例函数特征。
综上，①②满足反比例函数关系，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.实际问题的函数关系识别
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例函数定义的理解，以及结合实际情境分析函数关系的能力，解题的关键是抓住反比例函数“两变量乘积为定值”的核心特征，注意和一次函数等其他函数关系区分。
【难度系数】
0.8
12.(★)已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=-6.则当y=-2时，x=.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步，根据反比例函数的一般形式设出解析式，将已知的x、y对应值代入，求出待定系数k，确定完整的函数解析式；第二步，把给定的y值代入已求出的解析式，计算得到对应的x值即可。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）。
将$ x=3 $，$ y=-6 $代入解析式，得：
$ -6=\frac{k}{3} $
解得$ k=3×(-6)=-18 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{-18}{x} $。
当$ y=-2 $时，代入解析式得：
$ -2=\frac{-18}{x} $
两边同乘$ x $（$ x≠0 $）得$ -2x=-18 $，解得$ x=9 $。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
反比例函数的定义，待定系数法，代入求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础得分题，核心考查反比例函数的形式和待定系数法的运用，解题关键是正确求出系数k，计算时注意符号即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步，根据反比例函数的一般形式设出解析式，将已知的x、y对应值代入，求出待定系数k，确定完整的函数解析式；第二步，把给定的y值代入已求出的解析式，计算得到对应的x值即可。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）。
将$ x=3 $，$ y=-6 $代入解析式，得：
$ -6=\frac{k}{3} $
解得$ k=3×(-6)=-18 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{-18}{x} $。
当$ y=-2 $时，代入解析式得：
$ -2=\frac{-18}{x} $
两边同乘$ x $（$ x≠0 $）得$ -2x=-18 $，解得$ x=9 $。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
反比例函数的定义，待定系数法，代入求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础得分题，核心考查反比例函数的形式和待定系数法的运用，解题关键是正确求出系数k，计算时注意符号即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
13.(★)若矩形的长为x(单位:cm),宽为y(单位:cm),面积保持不变,下表给出了x与y的一些值: 
(1)y关于x的函数解析式是；
(2)根据函数解析式完成上表。
(1)y关于x的函数解析式是；
(2)根据函数解析式完成上表。
答案
解：
(1) 由矩形面积公式，结合$x=1$时$y=4$，得矩形面积为$1×4=4$，即$xy=4$，
因此$y$关于$x$的函数解析式是 $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$。
(2) 代入函数解析式依次计算空缺值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，$x=\frac{4}{2}=2$；
当$y=\sqrt{2}$时，$x=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
表格空缺从左到右、先长行后宽行依次填入：
长行空缺：$2$，$2\sqrt{2}$；
宽行空缺：$6$，$2\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$。
(1) 由矩形面积公式，结合$x=1$时$y=4$，得矩形面积为$1×4=4$，即$xy=4$，
因此$y$关于$x$的函数解析式是 $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$。
(2) 代入函数解析式依次计算空缺值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，$x=\frac{4}{2}=2$；
当$y=\sqrt{2}$时，$x=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
表格空缺从左到右、先长行后宽行依次填入：
长行空缺：$2$，$2\sqrt{2}$；
宽行空缺：$6$，$2\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在矩形面积场景下的应用，解题思路如下：① 由矩形面积公式可知面积=长×宽，题目说明面积保持不变，因此长x和宽y的乘积为定值，即y是x的反比例函数；② 求函数解析式时，可利用表格中已知的对应值x=1、y=4，先计算出矩形的固定面积，即可得到x与y的函数关系；③ 填写表格时，将已知的x值代入解析式求对应y值，将已知的y值代入变形后的解析式x=4/y求对应x值，依次计算即可得到所有空缺值。
【解析】
(1) 根据矩形面积公式，结合表格中x=1时y=4，可得矩形面积为$1×4=4\ \mathrm{cm}^2$，即$xy=4$，因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 将已知值代入解析式依次计算：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，$x=\frac{4}{2}=2$；
当$y=\sqrt{2}$时，$x=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因此表格空缺处：长行从左到右依次填$2$、$2\sqrt{2}$；宽行从左到右依次填$6$、$2\sqrt{2}$、$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$；
(2) 长行空缺依次为$2$，$2\sqrt{2}$；宽行空缺依次为$6$，$2\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数解析式
2. 矩形面积计算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是根据“矩形面积不变”判断出长和宽成反比例关系，先求出固定面积得到函数解析式，再代入数值计算即可，主要考察对反比例函数定义的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在矩形面积场景下的应用，解题思路如下：① 由矩形面积公式可知面积=长×宽，题目说明面积保持不变，因此长x和宽y的乘积为定值，即y是x的反比例函数；② 求函数解析式时，可利用表格中已知的对应值x=1、y=4，先计算出矩形的固定面积，即可得到x与y的函数关系；③ 填写表格时，将已知的x值代入解析式求对应y值，将已知的y值代入变形后的解析式x=4/y求对应x值，依次计算即可得到所有空缺值。
【解析】
(1) 根据矩形面积公式，结合表格中x=1时y=4，可得矩形面积为$1×4=4\ \mathrm{cm}^2$，即$xy=4$，因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 将已知值代入解析式依次计算：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，$x=\frac{4}{2}=2$；
当$y=\sqrt{2}$时，$x=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因此表格空缺处：长行从左到右依次填$2$、$2\sqrt{2}$；宽行从左到右依次填$6$、$2\sqrt{2}$、$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$；
(2) 长行空缺依次为$2$，$2\sqrt{2}$；宽行空缺依次为$6$，$2\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数解析式
2. 矩形面积计算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是根据“矩形面积不变”判断出长和宽成反比例关系，先求出固定面积得到函数解析式，再代入数值计算即可，主要考察对反比例函数定义的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
14. (★★) 已知函数 $ y = y_1 + y_2 $，且 $ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例关系，$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例关系。当 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = 5 $。则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 ，当 $ x = 4 $ 时，$ y = $$ $
答案
$\boldsymbol{y=2x+\dfrac{2}{x}}$；$\boldsymbol{\dfrac{17}{2}}$（或8.5）
解析
【分析】
首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的函数解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式；最后将$x=4$代入求得的解析式，计算出对应的$y$值即可。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例关系，$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），
$\because y_2$与$x$成反比例关系，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
$\therefore y=y_1+y_2=k_1x+\frac{k_2}{x}$。
将$x=1,y=4$和$x=2,y=5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}k_1+k_2=4\\2k_1+\frac{k_2}{2}=5\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得：$4k_1+k_2=10$，
用该式减去第一个方程得：$3k_1=6$，解得$k_1=2$，
将$k_1=2$代入$k_1+k_2=4$，得$k_2=2$，
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
当$x=4$时，代入解析式得：
$y=2×4+\frac{2}{4}=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$（或$8.5$）。
【答案】
$y=2x+\dfrac{2}{x}$；$\dfrac{17}{2}$（或8.5）
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对正反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，熟练掌握相关定义和二元一次方程组的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的函数解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式；最后将$x=4$代入求得的解析式，计算出对应的$y$值即可。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例关系，$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），
$\because y_2$与$x$成反比例关系，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
$\therefore y=y_1+y_2=k_1x+\frac{k_2}{x}$。
将$x=1,y=4$和$x=2,y=5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}k_1+k_2=4\\2k_1+\frac{k_2}{2}=5\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得：$4k_1+k_2=10$，
用该式减去第一个方程得：$3k_1=6$，解得$k_1=2$，
将$k_1=2$代入$k_1+k_2=4$，得$k_2=2$，
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
当$x=4$时，代入解析式得：
$y=2×4+\frac{2}{4}=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$（或$8.5$）。
【答案】
$y=2x+\dfrac{2}{x}$；$\dfrac{17}{2}$（或8.5）
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对正反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，熟练掌握相关定义和二元一次方程组的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
15.(★★★)如图,在矩形ABCD中,P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP.过点D作DE⊥AP,垂足为E.设AP=x,DE=y,若AB=3,AD=4,试求y关于x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围.
答案
解：
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ APB$，
又∵ $DE⊥ AP$，
∴ $∠ AED = 90° = ∠ B$，
∴ $△ ABP ∽ △ DEA$，
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AP=x$，$DE=y$，$AB=3$，$AD=4$代入得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{y}$，
整理得函数解析式为 $y=\frac{12}{x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=3$，点P在BC边上且不与B、C重合：
当P与B重合时，$AP=AB=3$；
当P与C重合时，$AP=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此自变量$x$的取值范围是$3＜x＜5$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{3＜x＜5}$。
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ APB$，
又∵ $DE⊥ AP$，
∴ $∠ AED = 90° = ∠ B$，
∴ $△ ABP ∽ △ DEA$，
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AP=x$，$DE=y$，$AB=3$，$AD=4$代入得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{y}$，
整理得函数解析式为 $y=\frac{12}{x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=3$，点P在BC边上且不与B、C重合：
当P与B重合时，$AP=AB=3$；
当P与C重合时，$AP=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此自变量$x$的取值范围是$3＜x＜5$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{3＜x＜5}$。
解析
【分析】
要解决这个问题可分两步思考：第一步推导y与x的函数关系，观察图形可知矩形中AD//BC可得内错角∠DAE=∠APB，DE⊥AP和矩形的直角可推出∠AED=∠B=90°，即可证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例建立x和y的等式，整理得到函数解析式；第二步求自变量x的取值范围，结合点P的运动特征：P在BC上且不与端点重合，分别计算P在B、C两个端点时AP的长度，即可得到x的取值区间。
【解析】
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ APB$，
又
∵ $DE⊥ AP$，
∴ $∠ AED = 90° = ∠ B$，
∴ $△ ABP ∽ △ DEA$，
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AP=x$，$DE=y$，$AB=3$，$AD=4$代入得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{y}$，
整理得函数解析式为 $y=\frac{12}{x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=3$，点P在BC边上且不与B、C重合：
当P与B重合时，$AP=AB=3$；
当P与C重合时，$AP=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此自变量$x$的取值范围是$3＜x＜5$。
【答案】
y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{3＜x＜5}$。
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，函数自变量取值范围
【点评】
本题将几何动点问题与函数知识相结合，解题核心是利用相似三角形的性质建立线段之间的比例关系，求解自变量范围时需要结合动点的运动边界分析，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题可分两步思考：第一步推导y与x的函数关系，观察图形可知矩形中AD//BC可得内错角∠DAE=∠APB，DE⊥AP和矩形的直角可推出∠AED=∠B=90°，即可证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例建立x和y的等式，整理得到函数解析式；第二步求自变量x的取值范围，结合点P的运动特征：P在BC上且不与端点重合，分别计算P在B、C两个端点时AP的长度，即可得到x的取值区间。
【解析】
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ APB$，
又
∵ $DE⊥ AP$，
∴ $∠ AED = 90° = ∠ B$，
∴ $△ ABP ∽ △ DEA$，
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AP=x$，$DE=y$，$AB=3$，$AD=4$代入得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{y}$，
整理得函数解析式为 $y=\frac{12}{x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=3$，点P在BC边上且不与B、C重合：
当P与B重合时，$AP=AB=3$；
当P与C重合时，$AP=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此自变量$x$的取值范围是$3＜x＜5$。
【答案】
y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{3＜x＜5}$。
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，函数自变量取值范围
【点评】
本题将几何动点问题与函数知识相结合，解题核心是利用相似三角形的性质建立线段之间的比例关系，求解自变量范围时需要结合动点的运动边界分析，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
