6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,过点C作$CE// AD$交AB于点E,$BE=BC$,$∠ BCD=122°$,则$∠ ADC$的度数为 ()

A.$106°$
B.$116°$
C.$115°$
D.$112°$

6. B

【分析】
解题思路可分四步梳理：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；第二步，根据CE//AD的平行线同位角相等的性质，得到∠CEB的度数，再结合BE=BC的等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BCE的度数；第三步，用∠BCD减去∠BCE得到∠DCE的度数；第四步，利用CE//AD的同旁内角互补的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=122°$，因此$∠ BAD = 180° - 122° = 58°$。
2. 因为$CE// AD$，根据两直线平行、同位角相等，得$∠ CEB = ∠ BAD = 58°$。
3. 又因为$BE=BC$，$△ BEC$为等腰三角形，根据等边对等角，得$∠ BCE = ∠ CEB = 58°$。
4. 计算$∠ DCE$：$∠ DCE = ∠ BCD - ∠ BCE = 122° - 58° = 64°$。
5. 因为$CE// AD$，根据两直线平行、同旁内角互补，得$∠ ADC + ∠ DCE = 180°$，因此$∠ ADC = 180° - 64° = 116°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将圆、平行线、等腰三角形的核心性质结合考察，解题时只要按顺序梳理已知条件，逐步推导即可得到结果，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{ACB}$所对的圆心角为$150°$，点D在$\overset{\frown}{AC}$上。若$∠ CBO = n°$，则$∠ ADC =$（）

A.$90° + n°$
B.$180° - n°$
C.$195° - n°$
D.$2n°$

7. C

【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：①首先利用同圆半径相等的性质，可知△OBC是等腰三角形，结合已知的∠CBO=n°，可求出∠BOC的度数；②结合弧ACB对应的圆心角为150°，可求出劣弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；③∠ADC是圆周角，它所对的弧是优弧AC，先算出优弧AC的圆心角度数，再根据圆周角定理（圆周角等于所对弧圆心角的一半），就能求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴∠OCB=∠CBO=n°
在△OBC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OCB-∠CBO=180°-2n°
∵弧ACB所对的圆心角为150°，即∠AOB=150°
∴劣弧AC对应的圆心角∠AOC=∠AOB - ∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°
∴优弧AC对应的圆心角为：360°-∠AOC=360°-(2n°-30°)=390°-2n°
根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧圆心角的一半，∠ADC是优弧AC所对的圆周角：
∴∠ADC=(390°-2n°)÷2=195°-n°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆章节的常规综合题，综合考查圆的基础性质，解题的核心是理清圆心角、圆周角和对应弧的匹配关系，结合等腰三角形的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.6

8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，若∠BOD＝42°，则∠ACD的度数为。

8. $111°$

【分析】
要求∠ACD的度数，我们可以将其拆分为∠ACB与∠BCD的和进行求解。首先回忆直径的性质：直径所对的圆周角为直角，可直接得到∠ACB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，结合已知的∠BOD的度数求出∠BCD的度数，两者相加即可得到∠ACD的度数。
【解析】
连接BC，
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ACB=90°$；
2. 已知$∠ BOD=42°$，它是弧$BD$所对的圆心角，$∠ BCD$是弧$BD$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×42°=21°$；
3. 所以$∠ ACD=∠ ACB + ∠ BCD=90°+21°=111°$。
【答案】
$111°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 直径所对圆周角为直角
3. 角度和差计算
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理拆分待求角，结合圆周角相关定理逐步推导，熟练掌握圆的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75

9. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，F是$\overset{\frown}{CD}$上一点，且$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC。若$∠ ABC = 105°$，$∠ BAC = 25°$，则$∠ E$的度数为。

9. $50°$

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ABC的度数求出∠ADC的度数；第二步，根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$推出∠DCE和∠BAC相等，得到∠DCE的度数；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将∠ADC减去∠DCE即可得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
已知$∠ ABC=105°$，代入得：
$∠ ADC=180° - 105°=75°$。
∵ $\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ DCE=∠ BAC$（等弧所对的圆周角相等），
已知$∠ BAC=25°$，故$∠ DCE=25°$。
∵ $∠ ADC$是$△ CDE$的外角，
∴ $∠ ADC=∠ DCE + ∠ E$，
变形得$∠ E=∠ ADC - ∠ DCE$，代入数值：
$∠ E=75° - 25°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，各角之间的关系清晰，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形、圆周角定理及三角形外角的基础性质，准确对应相等的角即可顺利求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.75

10.定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角。

如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,如图2,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,四边形ABCD的外角平分线DF交$\odot O$于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E。
求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。

10. 如图2,延长 $BC$ 到点 $T$。$\because$ 四边形 $FBCD$ 内接于$\odot O, \therefore ∠ FDC + ∠ FBC = 180°$。$\because ∠ FDE + ∠ FDC = 180°, \therefore ∠ FDE = ∠ FBC$。$\because DF$ 平分 $∠ ADE, \therefore ∠ ADF = ∠ FDE$。$\because ∠ ADF = ∠ ABF, \therefore ∠ ABF = ∠ FBC$, $\therefore BE$ 是 $∠ ABC$ 的平分线。$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}, \therefore ∠ ACD = ∠ BFD$。$\because ∠ BFD + ∠ BCD = 180°, ∠ DCT + ∠ BCD = 180°, \therefore ∠ DCT = ∠ BFD, \therefore ∠ ACD = ∠ DCT, \therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角平分线, $\therefore ∠ BEC$ 是 $△ ABC$ 中 $∠ BAC$ 的遥望角。

【分析】
要证明∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，首先需明确遥望角的定义：需同时满足两个条件，一是BE是△ABC中∠ABC的内角平分线，二是CE是△ABC中与∠ACB相邻的外角平分线。解题时先通过圆内接四边形对角互补、平角性质、DF是外角平分线、同弧所对圆周角相等的条件，推导得出BE平分∠ABC；再利用等弧对应的圆周角相等、圆内接四边形对角互补、平角性质，推导得出CE平分∠ACB的外角，最终结合遥望角定义完成证明。
【解析】
证明：延长BC到点T。
1. 证明BE是∠ABC的平分线：
∵四边形FBCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ FDC + ∠ FBC = 180°$。
又
∵$∠ FDE + ∠ FDC = 180°$（平角的定义），
∴$∠ FDE = ∠ FBC$。
∵DF平分∠ADE，
∴$∠ ADF = ∠ FDE$。
∵同弧AF所对的圆周角相等，
∴$∠ ADF = ∠ ABF$。
等量代换可得$∠ ABF = ∠ FBC$，即BE是∠ABC的内角平分线。
2. 证明CE是△ABC的外角平分线：
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，等弧所对的圆周角相等，
∴$∠ ACD = ∠ BFD$。
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴$∠ BFD + ∠ BCD = 180°$。
又
∵$∠ DCT + ∠ BCD = 180°$（平角的定义），
∴$∠ DCT = ∠ BFD$。
等量代换可得$∠ ACD = ∠ DCT$，即CE是△ABC中与∠ACB相邻的外角平分线。
结合遥望角的定义，可得∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。
【答案】
如图2,延长 $BC$ 到点 $T$。$\because$ 四边形 $FBCD$ 内接于$\odot O, \therefore ∠ FDC + ∠ FBC = 180°$。$\because ∠ FDE + ∠ FDC = 180°, \therefore ∠ FDE = ∠ FBC$。$\because DF$ 平分 $∠ ADE, \therefore ∠ ADF = ∠ FDE$。$\because ∠ ADF = ∠ ABF, \therefore ∠ ABF = ∠ FBC$, $\therefore BE$ 是 $∠ ABC$ 的平分线。$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}, \therefore ∠ ACD = ∠ BFD$。$\because ∠ BFD + ∠ BCD = 180°, ∠ DCT + ∠ BCD = 180°, \therefore ∠ DCT = ∠ BFD, \therefore ∠ ACD = ∠ DCT, \therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角平分线, $\therefore ∠ BEC$ 是 $△ ABC$ 中 $∠ BAC$ 的遥望角。
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，角平分线判定
【点评】
本题属于新定义类几何证明题，核心是先准确理解遥望角的定义，将证明目标转化为验证两条角平分线成立，解题过程需要灵活运用圆的相关性质推导角的等量关系，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6