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7.如果函数$y=(k-2)x^{k^2 -2k +2} +kx +1$是关于$x$的二次函数，那么$k$的值是（
A.1或2
B.0或2
C.2
D.0
D
）A.1或2
B.0或2
C.2
D.0
答案
7.D
解析
【分析】
要判定一个函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：① 自变量x的最高次数为2；② 二次项的系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(k-2)x^{k^2 -2k +2} +kx +1$是关于$x$的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$k^2 - 2k + 2 = 2$
整理得$k^2 - 2k = 0$，因式分解得$k(k-2)=0$
解得$k=0$或$k=2$
2. 二次项系数不为0，即：
$k-2 ≠ 0$，解得$k≠2$
综上，同时满足两个条件的$k$值为0，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选包含$k=2$的选项，解题时需牢记二次函数的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
要判定一个函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：① 自变量x的最高次数为2；② 二次项的系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(k-2)x^{k^2 -2k +2} +kx +1$是关于$x$的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$k^2 - 2k + 2 = 2$
整理得$k^2 - 2k = 0$，因式分解得$k(k-2)=0$
解得$k=0$或$k=2$
2. 二次项系数不为0，即：
$k-2 ≠ 0$，解得$k≠2$
综上，同时满足两个条件的$k$值为0，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选包含$k=2$的选项，解题时需牢记二次函数的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
8.如图所示,在一幅长 50 cm、宽 30 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画.设整个挂画总面积为y (cm²),金色纸边的宽为x (cm),则y关于x的函数表达式是
$y=4x^2+160x+1500$
。答案
8.$y=4x^2+160x+1500$
解析
【分析】
要得到y关于x的函数表达式，首先明确y是镶边后整个矩形挂画的面积，需先求出挂画的长和宽：金色纸边在风景画四周，左右两侧各有宽为x的纸边，因此挂画的长为原风景画的长加上2x；上下两侧各有宽为x的纸边，因此挂画的宽为原风景画的宽加上2x，再根据矩形面积公式列式、化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，镶金色纸边后，挂画的长为$(50+2x)\mathrm{cm}$，宽为$(30+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式$S=长× 宽$，可得总面积：
$\begin{aligned}y&=(50+2x)(30+2x)\\&=50×30 + 50×2x + 2x×30 + 2x·2x\\&=1500 + 100x + 60x + 4x^2\\&=4x^2 + 160x + 1500\end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2+160x+1500$
【知识点】
二次函数的实际应用、矩形面积计算、多项式乘多项式
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确表示出变化后矩形的长和宽，计算时要注意四周都有纸边，长和宽都需要加上2倍的纸边宽度，避免出现仅加1倍x的粗心错误。
【难度系数】
0.8
要得到y关于x的函数表达式，首先明确y是镶边后整个矩形挂画的面积，需先求出挂画的长和宽：金色纸边在风景画四周，左右两侧各有宽为x的纸边，因此挂画的长为原风景画的长加上2x；上下两侧各有宽为x的纸边，因此挂画的宽为原风景画的宽加上2x，再根据矩形面积公式列式、化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，镶金色纸边后，挂画的长为$(50+2x)\mathrm{cm}$，宽为$(30+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式$S=长× 宽$，可得总面积：
$\begin{aligned}y&=(50+2x)(30+2x)\\&=50×30 + 50×2x + 2x×30 + 2x·2x\\&=1500 + 100x + 60x + 4x^2\\&=4x^2 + 160x + 1500\end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2+160x+1500$
【知识点】
二次函数的实际应用、矩形面积计算、多项式乘多项式
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确表示出变化后矩形的长和宽，计算时要注意四周都有纸边，长和宽都需要加上2倍的纸边宽度，避免出现仅加1倍x的粗心错误。
【难度系数】
0.8
9.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上.开始时点A与点N重合，△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合.
(1)求重叠部分的面积 y(cm²)与时间 t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围.
(2)当 t=1 s,t=2 s时，求重叠部分的面积.
(1)求重叠部分的面积 y(cm²)与时间 t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围.
(2)当 t=1 s,t=2 s时，求重叠部分的面积.
答案
9.解:(1)$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore$ 重叠部分也是等腰直角三角形.
又$\because AN=2t,\therefore AM=MN-AN=20-2t$,
$\therefore MH=AM=20-2t$,
$\therefore$ 重叠部分的面积为 $y=\frac{1}{2}(20-2t)^2=2t^2-40t+200.$
自变量的取值范围是 $0≤ t≤ 10.$
(2)当 $t=1$ 时,$y=162$;当 $t=2$ 时,$y=128.$当 $t=1$ 时,重叠部分的面积为 $162\ \mathrm{cm}^2$,$t=2$ 时,重叠部分的面积为 $128\ \mathrm{cm}^2.$
$\therefore$ 重叠部分也是等腰直角三角形.
又$\because AN=2t,\therefore AM=MN-AN=20-2t$,
$\therefore MH=AM=20-2t$,
$\therefore$ 重叠部分的面积为 $y=\frac{1}{2}(20-2t)^2=2t^2-40t+200.$
自变量的取值范围是 $0≤ t≤ 10.$
(2)当 $t=1$ 时,$y=162$;当 $t=2$ 时,$y=128.$当 $t=1$ 时,重叠部分的面积为 $162\ \mathrm{cm}^2$,$t=2$ 时,重叠部分的面积为 $128\ \mathrm{cm}^2.$
解析
【分析】
解题时先分析运动过程：首先等腰直角三角形ABC中∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此运动过程中重叠部分始终是等腰直角三角形。接下来建立时间t与重叠部分边长的关系：△ABC向左运动速度为2cm/s，t秒后移动距离AN=2t，可推出重叠部分的直角边AM=MN-AN=20-2t，再结合等腰直角三角形面积公式即可写出y关于t的函数表达式。自变量t的范围由运动起止时间确定：初始t=0，当点A与点M重合时移动总距离为20cm，对应t=10s，因此t的取值范围是0≤t≤10。第二问只需将t的取值代入函数表达式计算即可得到对应面积。
【解析】
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，结合正方形的∠QMN=90°，可知重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长等于AM的长度。
由题意得，t秒后△ABC向左移动的距离为$AN=2t\ \mathrm{cm}$，
∴$AM=MN-AN=(20-2t)\ \mathrm{cm}$，即重叠部分等腰直角三角形的直角边长为$(20-2t)\mathrm{cm}$。
根据等腰直角三角形面积公式，重叠部分面积：
$y=\frac{1}{2}(20-2t)^2=2t^2-40t+200$
运动起始时$t=0$，当点A与点M重合时$2t=20$，解得$t=10$，故自变量取值范围为$0≤ t≤10$。
(2) 当$t=1\ \mathrm{s}$时，代入函数式得：
$y=2×1^2-40×1+200=162\ (\mathrm{cm}^2)$
当$t=2\ \mathrm{s}$时，代入函数式得：
$y=2×2^2-40×2+200=128\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $y=2t^2-40t+200\ (0≤ t≤10)$
(2) 当$t=1\ \mathrm{s}$时，重叠部分面积为$162\ \mathrm{cm}^2$；当$t=2\ \mathrm{s}$时，重叠部分面积为$128\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次函数应用，动点问题分析
【点评】
本题结合几何动态场景考察二次函数的列式与求值，解题关键是准确判断重叠部分的图形形状，建立运动时间和图形边长的对应关系，属于基础应用型题目，能有效锻炼学生的动态分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先分析运动过程：首先等腰直角三角形ABC中∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此运动过程中重叠部分始终是等腰直角三角形。接下来建立时间t与重叠部分边长的关系：△ABC向左运动速度为2cm/s，t秒后移动距离AN=2t，可推出重叠部分的直角边AM=MN-AN=20-2t，再结合等腰直角三角形面积公式即可写出y关于t的函数表达式。自变量t的范围由运动起止时间确定：初始t=0，当点A与点M重合时移动总距离为20cm，对应t=10s，因此t的取值范围是0≤t≤10。第二问只需将t的取值代入函数表达式计算即可得到对应面积。
【解析】
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，结合正方形的∠QMN=90°，可知重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长等于AM的长度。
由题意得，t秒后△ABC向左移动的距离为$AN=2t\ \mathrm{cm}$，
∴$AM=MN-AN=(20-2t)\ \mathrm{cm}$，即重叠部分等腰直角三角形的直角边长为$(20-2t)\mathrm{cm}$。
根据等腰直角三角形面积公式，重叠部分面积：
$y=\frac{1}{2}(20-2t)^2=2t^2-40t+200$
运动起始时$t=0$，当点A与点M重合时$2t=20$，解得$t=10$，故自变量取值范围为$0≤ t≤10$。
(2) 当$t=1\ \mathrm{s}$时，代入函数式得：
$y=2×1^2-40×1+200=162\ (\mathrm{cm}^2)$
当$t=2\ \mathrm{s}$时，代入函数式得：
$y=2×2^2-40×2+200=128\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $y=2t^2-40t+200\ (0≤ t≤10)$
(2) 当$t=1\ \mathrm{s}$时，重叠部分面积为$162\ \mathrm{cm}^2$；当$t=2\ \mathrm{s}$时，重叠部分面积为$128\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次函数应用，动点问题分析
【点评】
本题结合几何动态场景考察二次函数的列式与求值，解题关键是准确判断重叠部分的图形形状，建立运动时间和图形边长的对应关系，属于基础应用型题目，能有效锻炼学生的动态分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
10.某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件.为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告.根据经验，每年投入的广告费为x(万元)时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数.公司作了预测，已知x与y之间的对应关系如下表：
(1)根据上表，求y关于x的函数表达式.
(2)如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数表达式.
(1)根据上表，求y关于x的函数表达式.
(2)如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数表达式.
答案
10.解:(1)设所求函数表达式为 $y=ax^2+bx+c$,
把$(0,1),(1,1.5),(2,1.8)$分别代入上式，
得$\begin{cases}1=c,\\1.5=a+b+c,\\1.8=4a+2b+c,\end{cases}$
解得 $a=-\frac{1}{10},b=\frac{3}{5},c=1,\therefore y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1.$
(2)$S=(3-2)×10y-x=(-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1)×10-x=-x^2+5x+10.$
把$(0,1),(1,1.5),(2,1.8)$分别代入上式，
得$\begin{cases}1=c,\\1.5=a+b+c,\\1.8=4a+2b+c,\end{cases}$
解得 $a=-\frac{1}{10},b=\frac{3}{5},c=1,\therefore y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1.$
(2)$S=(3-2)×10y-x=(-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1)×10-x=-x^2+5x+10.$
解析
【分析】
(1) 题目明确y是x的二次函数，因此优先用待定系数法求解：先设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，表格给出了三组x、y的对应值，对应三个点的坐标，将三个点代入一般式可得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出三个系数即可得到y的解析式。
(2) 求解利润函数首先理清数量关系：年利润=销售总利润-广告费，其中销售总利润=（单件售价-单件成本）×年销售量，投入广告费x后年销售量为原销量10万件的y倍，将对应数值和第一问求出的y的解析式代入该数量关系，化简后即可得到S关于x的函数表达式。
【解析】
(1) 设y关于x的二次函数表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
把表格中三组对应值$(0,1),(1,1.5),(2,1.8)$分别代入上式，得：
$\begin{cases}1=c,\\1.5=a+b+c,\\1.8=4a+2b+c,\end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，解得 $a=-\frac{1}{10},b=\frac{3}{5},c=1$，
因此y关于x的函数表达式为 $y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1$。
(2) 由题意可知，单件产品的利润为$3-2=1$元，投入广告费x万元后年销售量为$10y$万件，
年利润$S$=销售总利润-广告费，因此：
$S=(3-2)×10y - x$
将$y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1$代入上式：
$S=10×(-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1) - x$
展开化简得：$S=-x^2+6x+10 -x=-x^2+5x+10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{3}{5}x+1}$
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+5x+10}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；利润问题计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式、实际问题中数量关系的梳理，解题的关键是准确理解题意，明确利润的计算逻辑，是二次函数应用板块的常见经典题型。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确y是x的二次函数，因此优先用待定系数法求解：先设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，表格给出了三组x、y的对应值，对应三个点的坐标，将三个点代入一般式可得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出三个系数即可得到y的解析式。
(2) 求解利润函数首先理清数量关系：年利润=销售总利润-广告费，其中销售总利润=（单件售价-单件成本）×年销售量，投入广告费x后年销售量为原销量10万件的y倍，将对应数值和第一问求出的y的解析式代入该数量关系，化简后即可得到S关于x的函数表达式。
【解析】
(1) 设y关于x的二次函数表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
把表格中三组对应值$(0,1),(1,1.5),(2,1.8)$分别代入上式，得：
$\begin{cases}1=c,\\1.5=a+b+c,\\1.8=4a+2b+c,\end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，解得 $a=-\frac{1}{10},b=\frac{3}{5},c=1$，
因此y关于x的函数表达式为 $y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1$。
(2) 由题意可知，单件产品的利润为$3-2=1$元，投入广告费x万元后年销售量为$10y$万件，
年利润$S$=销售总利润-广告费，因此：
$S=(3-2)×10y - x$
将$y=-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1$代入上式：
$S=10×(-\frac{1}{10}x^2+\frac{3}{5}x+1) - x$
展开化简得：$S=-x^2+6x+10 -x=-x^2+5x+10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{3}{5}x+1}$
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+5x+10}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；利润问题计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式、实际问题中数量关系的梳理，解题的关键是准确理解题意，明确利润的计算逻辑，是二次函数应用板块的常见经典题型。
【难度系数】
0.7
