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12. [易错题]有一根阻值为R的电阻线，现将它首尾相连绕制成一个正方形电阻，如图所示，则A、B间的电阻为
$\dfrac{3R}{16}$
。答案
12. $\dfrac{3R}{16}$
解析
【分析】要计算A、B间的电阻，首先需明确正方形电阻线每条边的电阻：总阻值为R，正方形4条边等长，故每条边电阻为$\frac{R}{4}$。接着分析A、B间的两条并联支路：一条是直接连接A、B的边，另一条是经过A-C-D-B的三条边，分别算出两条支路的电阻后，利用并联电阻公式计算总电阻即可。
【解析】电阻线绕成正方形，总阻值为R，因此每条边的电阻为$\frac{R}{4}$。A、B两点间的电阻由两条支路并联组成：
1. 支路1（AB边）的电阻：$R_1=\frac{R}{4}$；
2. 支路2（A→C→D→B）的电阻：共3条边，故$R_2=3×\frac{R}{4}=\frac{3R}{4}$。
根据并联电阻的计算公式$\frac{1}{R_{AB}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，代入数值：
$\frac{1}{R_{AB}}=\frac{4}{R}+\frac{4}{3R}=\frac{12+4}{3R}=\frac{16}{3R}$，
解得$R_{AB}=\frac{3R}{16}$。
【答案】$\dfrac{3R}{16}$
【知识点】并联电阻计算、电阻的串并联
【点评】本题为电阻串并联的易错题，关键在于准确判断A、B间的两条并联支路及各支路的电阻段数，避免因段数判断错误导致计算失误，需熟练掌握并联电阻的计算方法。
【难度系数】0.5
【解析】电阻线绕成正方形，总阻值为R，因此每条边的电阻为$\frac{R}{4}$。A、B两点间的电阻由两条支路并联组成：
1. 支路1（AB边）的电阻：$R_1=\frac{R}{4}$；
2. 支路2（A→C→D→B）的电阻：共3条边，故$R_2=3×\frac{R}{4}=\frac{3R}{4}$。
根据并联电阻的计算公式$\frac{1}{R_{AB}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，代入数值：
$\frac{1}{R_{AB}}=\frac{4}{R}+\frac{4}{3R}=\frac{12+4}{3R}=\frac{16}{3R}$，
解得$R_{AB}=\frac{3R}{16}$。
【答案】$\dfrac{3R}{16}$
【知识点】并联电阻计算、电阻的串并联
【点评】本题为电阻串并联的易错题，关键在于准确判断A、B间的两条并联支路及各支路的电阻段数，避免因段数判断错误导致计算失误，需熟练掌握并联电阻的计算方法。
【难度系数】0.5
变式训练
一个半圆形的薄电阻片，如图甲所示夹在两导体板之间时，测得电阻值为R，则如图乙所示夹在两导体板之间时，测得的电阻为
一个半圆形的薄电阻片，如图甲所示夹在两导体板之间时，测得电阻值为R，则如图乙所示夹在两导体板之间时，测得的电阻为
4R
。答案
【变式训练】4R
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合电阻定律$ R=\rho\frac{L}{S} $，通过等效转换分析两种接法下电阻片的串并联关系。首先观察甲图：半圆形电阻片接在上下导体板时，可等效为两个相同的四分之一圆形电阻并联，总电阻为$ R $；再分析乙图，半圆形电阻片转90°后接在上下导体板，此时两个四分之一圆形电阻变为串联，据此推导总阻值。
【解析】
设半圆形薄电阻片的电阻率为$ \rho $，半径为$ r $，厚度为$ d $。
1. 甲图接法分析：电流沿竖直方向通过半圆形电阻片，该电阻等效为两个相同的四分之一圆形电阻并联。根据并联电阻规律$ \frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} $，因两电阻相同，故总电阻$ R=\frac{R_0}{2} $，得单个四分之一圆形电阻阻值$ R_0=2R $。
2. 乙图接法分析：电流沿水平方向通过半圆形电阻片，此时电阻等效为两个相同的四分之一圆形电阻串联。根据串联电阻规律$ R_{总}=R_1+R_2 $，总阻值$ R_{总}=R_0+R_0=2R_0=2×2R=4R $。
【答案】
4R
【知识点】
电阻定律、串并联电阻
【点评】
本题核心是将半圆形电阻片等效拆分为四分之一圆形电阻，结合串并联电阻规律求解，需明确两种接法下电阻的连接方式，考查等效转换能力与电阻规律的应用。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需结合电阻定律$ R=\rho\frac{L}{S} $，通过等效转换分析两种接法下电阻片的串并联关系。首先观察甲图：半圆形电阻片接在上下导体板时，可等效为两个相同的四分之一圆形电阻并联，总电阻为$ R $；再分析乙图，半圆形电阻片转90°后接在上下导体板，此时两个四分之一圆形电阻变为串联，据此推导总阻值。
【解析】
设半圆形薄电阻片的电阻率为$ \rho $，半径为$ r $，厚度为$ d $。
1. 甲图接法分析：电流沿竖直方向通过半圆形电阻片，该电阻等效为两个相同的四分之一圆形电阻并联。根据并联电阻规律$ \frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} $，因两电阻相同，故总电阻$ R=\frac{R_0}{2} $，得单个四分之一圆形电阻阻值$ R_0=2R $。
2. 乙图接法分析：电流沿水平方向通过半圆形电阻片，此时电阻等效为两个相同的四分之一圆形电阻串联。根据串联电阻规律$ R_{总}=R_1+R_2 $，总阻值$ R_{总}=R_0+R_0=2R_0=2×2R=4R $。
【答案】
4R
【知识点】
电阻定律、串并联电阻
【点评】
本题核心是将半圆形电阻片等效拆分为四分之一圆形电阻，结合串并联电阻规律求解，需明确两种接法下电阻的连接方式，考查等效转换能力与电阻规律的应用。
【难度系数】
0.4
13. 如图所示，图线1和图线2分别是电阻$R_1$与$R_2$的$U-I$图像，则$R_1$与$R_2$的大小及两电阻串联和并联后的$U-I$图像所在的区域分别是（
A.$R_1＜R_2$，两个电阻并联后图线在区域Ⅰ
B.$R_1＜R_2$，两个电阻串联后图线在区域Ⅰ
C.$R_1＞R_2$，两个电阻并联后图线在区域Ⅲ
D.$R_1＞R_2$，两个电阻串联后图线在区域Ⅲ
第13题图 第14题图
C
）A.$R_1＜R_2$，两个电阻并联后图线在区域Ⅰ
B.$R_1＜R_2$，两个电阻串联后图线在区域Ⅰ
C.$R_1＞R_2$，两个电阻并联后图线在区域Ⅲ
D.$R_1＞R_2$，两个电阻串联后图线在区域Ⅲ
第13题图 第14题图
答案
13. C
解析
【分析】首先明确U-I图像的物理意义：电阻R等于U与I的比值，对应图线的斜率，斜率越大，电阻越大。先比较R₁和R₂：图线1的斜率大于图线2，因此R₁＞R₂，可排除A、B选项。再分析串并联后的总电阻：串联总电阻R串=R₁+R₂，比R₁更大，斜率更大，图线应在区域Ⅰ；并联总电阻R并=(R₁R₂)/(R₁+R₂)，比R₂更小，斜率更小，图线应在区域Ⅲ，据此判断正确选项。
【解析】根据欧姆定律R=U/I，U-I图像的斜率表示电阻大小，斜率越大电阻越大。由题图可知，图线1斜率大于图线2，故R₁＞R₂，排除A、B选项。两电阻串联时，总电阻大于R₁，其U-I图线斜率比R₁更大，应在区域Ⅰ；两电阻并联时，总电阻小于R₂，其U-I图线斜率比R₂更小，应在区域Ⅲ。综上，选项C符合要求。
【答案】C
【知识点】U-I图像、电阻的串并联
【点评】本题结合U-I图像考查电阻的串并联特点，核心是理解U-I图线斜率对应电阻，需结合串并联电阻的大小关系判断图线位置，属于中等难度的基础题。
【难度系数】0.5
【解析】根据欧姆定律R=U/I，U-I图像的斜率表示电阻大小，斜率越大电阻越大。由题图可知，图线1斜率大于图线2，故R₁＞R₂，排除A、B选项。两电阻串联时，总电阻大于R₁，其U-I图线斜率比R₁更大，应在区域Ⅰ；两电阻并联时，总电阻小于R₂，其U-I图线斜率比R₂更小，应在区域Ⅲ。综上，选项C符合要求。
【答案】C
【知识点】U-I图像、电阻的串并联
【点评】本题结合U-I图像考查电阻的串并联特点，核心是理解U-I图线斜率对应电阻，需结合串并联电阻的大小关系判断图线位置，属于中等难度的基础题。
【难度系数】0.5
14. 如图所示,把电阻R接入电源电压为6 V的电路中,电流表示数是0.3 A,如果需要让电流表示数增大到0.8 A,可以采取的方法是 (
A.用一个20 Ω的电阻与R串联
B.用一个12 Ω的电阻与R串联
C.用一个20 Ω的电阻与R并联
D.用一个12 Ω的电阻与R并联
D
)A.用一个20 Ω的电阻与R串联
B.用一个12 Ω的电阻与R串联
C.用一个20 Ω的电阻与R并联
D.用一个12 Ω的电阻与R并联
答案
14. D
解析
【分析】
首先根据欧姆定律计算原电阻R的阻值；要增大电路电流，需减小总电阻，串联电阻会增大总电阻、并联电阻会减小总电阻，据此排除串联选项；再结合并联电阻的规律计算所需并联电阻的阻值，确定正确方法。
【解析】
1. 计算原电阻R的阻值：根据欧姆定律 $ I=\frac{U}{R} $，可得 $ R=\frac{U}{I}=\frac{6V}{0.3A}=20\Omega $。
2. 分析电流增大的方式：要使电流变为0.8A，总电阻需变为 $ R_{总}=\frac{U}{I'}=\frac{6V}{0.8A}=7.5\Omega $。串联电阻会让总电阻变大，电流更小，不符合要求，排除A、B选项；并联电阻可减小总电阻，符合要求。
3. 计算并联电阻的阻值：设并联电阻为 $ R_{并} $，根据并联电阻公式 $ \frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_{并}} $，代入数据得 $ \frac{1}{7.5\Omega}=\frac{1}{20\Omega}+\frac{1}{R_{并}} $，解得 $ \frac{1}{R_{并}}=\frac{1}{7.5}-\frac{1}{20}=\frac{1}{12} $，即 $ R_{并}=12\Omega $，因此需用12Ω的电阻与R并联。
【答案】
D
【知识点】
欧姆定律、并联电阻规律
【点评】
本题结合欧姆定律和串并联电阻特点解题，核心是理解电流与总电阻的关系，通过公式计算即可得出结果，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
首先根据欧姆定律计算原电阻R的阻值；要增大电路电流，需减小总电阻，串联电阻会增大总电阻、并联电阻会减小总电阻，据此排除串联选项；再结合并联电阻的规律计算所需并联电阻的阻值，确定正确方法。
【解析】
1. 计算原电阻R的阻值：根据欧姆定律 $ I=\frac{U}{R} $，可得 $ R=\frac{U}{I}=\frac{6V}{0.3A}=20\Omega $。
2. 分析电流增大的方式：要使电流变为0.8A，总电阻需变为 $ R_{总}=\frac{U}{I'}=\frac{6V}{0.8A}=7.5\Omega $。串联电阻会让总电阻变大，电流更小，不符合要求，排除A、B选项；并联电阻可减小总电阻，符合要求。
3. 计算并联电阻的阻值：设并联电阻为 $ R_{并} $，根据并联电阻公式 $ \frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_{并}} $，代入数据得 $ \frac{1}{7.5\Omega}=\frac{1}{20\Omega}+\frac{1}{R_{并}} $，解得 $ \frac{1}{R_{并}}=\frac{1}{7.5}-\frac{1}{20}=\frac{1}{12} $，即 $ R_{并}=12\Omega $，因此需用12Ω的电阻与R并联。
【答案】
D
【知识点】
欧姆定律、并联电阻规律
【点评】
本题结合欧姆定律和串并联电阻特点解题，核心是理解电流与总电阻的关系，通过公式计算即可得出结果，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
15. 如图所示，电源电压恒为12 V，滑动变阻器铭牌上标有“100 Ω 0.5 A”字样，$R_1$的阻值为20 Ω。为了不损坏滑动变阻器，$R_2$接入电路的阻值至少为多少？
答案
15. 4 Ω
解析
【分析】首先明确电路为R₁与滑动变阻器R₂串联，串联电路中电流处处相等；滑动变阻器铭牌标注的“0.5A”是其允许通过的最大电流，为不损坏滑动变阻器，电路中的电流不能超过0.5A。接下来根据欧姆定律计算电路总电阻，再结合串联电阻的规律，即可求出R₂接入电路的最小阻值。
【解析】解：由滑动变阻器铭牌“100Ω 0.5A”可知，电路允许通过的最大电流I_max=0.5A（串联电路电流处处相等，为不损坏滑动变阻器，电路电流不能超过该值）。
根据欧姆定律I=U/R，可得电路的总电阻：
R总 = U / I_max = 12V / 0.5A = 24Ω
因为串联电路总电阻等于各电阻之和，即R总 = R₁ + R₂，所以R₂接入的最小阻值：
R₂最小 = R总 - R₁ = 24Ω - 20Ω = 4Ω
【答案】4 Ω
【知识点】串联电路特点、欧姆定律、滑动变阻器的使用
【点评】本题结合串联电路规律和欧姆定律，考查滑动变阻器的安全使用，关键是理解滑动变阻器额定电流是电路允许的最大电流，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：由滑动变阻器铭牌“100Ω 0.5A”可知，电路允许通过的最大电流I_max=0.5A（串联电路电流处处相等，为不损坏滑动变阻器，电路电流不能超过该值）。
根据欧姆定律I=U/R，可得电路的总电阻：
R总 = U / I_max = 12V / 0.5A = 24Ω
因为串联电路总电阻等于各电阻之和，即R总 = R₁ + R₂，所以R₂接入的最小阻值：
R₂最小 = R总 - R₁ = 24Ω - 20Ω = 4Ω
【答案】4 Ω
【知识点】串联电路特点、欧姆定律、滑动变阻器的使用
【点评】本题结合串联电路规律和欧姆定律，考查滑动变阻器的安全使用，关键是理解滑动变阻器额定电流是电路允许的最大电流，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
16. 如图所示，电阻$R_1$、$R_2$并联接到电压为$U$的电源两端。闭合开关S后，通过电阻$R_1$、$R_2$的电流分别为$I_1$、$I_2$，电路的总电流为$I$。
(1)$R_1$、$R_2$并联后相当于一个电阻$R$，请推导证明：$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$；
(2)若电路中$R_1=20\ \Omega$，$R_2=30\ \Omega$，电源电压为3 V。求电路的总电流$I$。
(1)$R_1$、$R_2$并联后相当于一个电阻$R$，请推导证明：$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$；
(2)若电路中$R_1=20\ \Omega$，$R_2=30\ \Omega$，电源电压为3 V。求电路的总电流$I$。
答案
16.(1)略 (2)0.25 A
解析
【分析】
要解决本题，需结合并联电路的规律和欧姆定律分析：
(1) 推导并联电阻公式时，先利用并联电路“各支路电压相等，总电流等于各支路电流之和”的特点，再结合欧姆定律将电流用电压和电阻表示，代入后化简即可得到结论；
(2) 计算总电流时，可先分别求出两支路的电流，再根据并联电路总电流等于各支路电流之和求和，也可先求出并联总电阻，再用欧姆定律计算总电流。
【解析】
(1) 证明：
因为电阻$R_1$、$R_2$并联，所以并联电路中各支路两端电压相等，即 $U = U_1 = U_2$；
根据并联电路的电流规律，总电流等于各支路电流之和，即 $I = I_1 + I_2$；
由欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$，可得：$I = \frac{U}{R}$，$I_1 = \frac{U}{R_1}$，$I_2 = \frac{U}{R_2}$；
将上述电流表达式代入总电流公式：$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$；
由于电源电压$U≠0$，等式两边同时除以$U$，可得：$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，推导成立。
(2) 解：
已知$R_1=20\ \Omega$，$R_2=30\ \Omega$，电源电压$U=3\ V$；
根据欧姆定律，通过$R_1$的电流：$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{3\ V}{20\ \Omega} = 0.15\ A$；
通过$R_2$的电流：$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{3\ V}{30\ \Omega} = 0.1\ A$；
根据并联电路总电流规律，总电流：$I = I_1 + I_2 = 0.15\ A + 0.1\ A = 0.25\ A$。
【答案】
(1) 推导过程如上；(2) $0.25\ A$
【知识点】
并联电路电流规律、欧姆定律、并联电阻推导
【点评】
本题考查并联电路规律与欧姆定律的应用，第一问侧重公式推导，需掌握并联电路特点与欧姆定律的结合；第二问为基础计算，是电学常规题型，适合巩固并联电路知识。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合并联电路的规律和欧姆定律分析：
(1) 推导并联电阻公式时，先利用并联电路“各支路电压相等，总电流等于各支路电流之和”的特点，再结合欧姆定律将电流用电压和电阻表示，代入后化简即可得到结论；
(2) 计算总电流时，可先分别求出两支路的电流，再根据并联电路总电流等于各支路电流之和求和，也可先求出并联总电阻，再用欧姆定律计算总电流。
【解析】
(1) 证明：
因为电阻$R_1$、$R_2$并联，所以并联电路中各支路两端电压相等，即 $U = U_1 = U_2$；
根据并联电路的电流规律，总电流等于各支路电流之和，即 $I = I_1 + I_2$；
由欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$，可得：$I = \frac{U}{R}$，$I_1 = \frac{U}{R_1}$，$I_2 = \frac{U}{R_2}$；
将上述电流表达式代入总电流公式：$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$；
由于电源电压$U≠0$，等式两边同时除以$U$，可得：$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，推导成立。
(2) 解：
已知$R_1=20\ \Omega$，$R_2=30\ \Omega$，电源电压$U=3\ V$；
根据欧姆定律，通过$R_1$的电流：$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{3\ V}{20\ \Omega} = 0.15\ A$；
通过$R_2$的电流：$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{3\ V}{30\ \Omega} = 0.1\ A$；
根据并联电路总电流规律，总电流：$I = I_1 + I_2 = 0.15\ A + 0.1\ A = 0.25\ A$。
【答案】
(1) 推导过程如上；(2) $0.25\ A$
【知识点】
并联电路电流规律、欧姆定律、并联电阻推导
【点评】
本题考查并联电路规律与欧姆定律的应用，第一问侧重公式推导，需掌握并联电路特点与欧姆定律的结合；第二问为基础计算，是电学常规题型，适合巩固并联电路知识。
【难度系数】
0.6
17.如图所示,黑盒子中有由导线和两个阻值均为5Ω的电阻组成的电路,盒外有四个接线柱。已知1、3接线柱间的电阻为5Ω,2、4接线柱间的电阻也为5Ω,1、2接线柱间的电阻为零,3、4接线柱间的电阻为10Ω。请用笔画线将盒内的电路连接完整。
答案
17. 如图所示
解析
【分析】要解决黑盒电路问题，需根据各接线柱间的电阻值反推内部连接：首先，1、2间电阻为0，说明1和2直接用导线连通；其次，1、3间电阻为5Ω，说明1到3之间有一个5Ω电阻；2、4间电阻为5Ω，说明2到4之间有一个5Ω电阻；最后，3、4间电阻为10Ω，恰好是两个5Ω电阻串联的总电阻，符合题目条件，由此确定电路连接方式。
【解析】1. 由1、2接线柱间电阻为0，用导线将1和2直接连接；2. 因1、3间电阻为5Ω，在1与3之间接入一个5Ω电阻；3. 因2、4间电阻为5Ω，在2与4之间接入另一个5Ω电阻；4. 此时3、4间的电阻为两个5Ω电阻串联，总电阻为5Ω+5Ω=10Ω，与题目条件一致，完成电路连接。
【答案】如图所示
【知识点】电阻串联、电路连接
【点评】本题通过黑盒电路的电阻值反推内部电路，考查对电阻串联规律和电路连接的理解，需结合已知电阻值逐步推理，是典型的电路分析题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 由1、2接线柱间电阻为0，用导线将1和2直接连接；2. 因1、3间电阻为5Ω，在1与3之间接入一个5Ω电阻；3. 因2、4间电阻为5Ω，在2与4之间接入另一个5Ω电阻；4. 此时3、4间的电阻为两个5Ω电阻串联，总电阻为5Ω+5Ω=10Ω，与题目条件一致，完成电路连接。
【答案】如图所示
【知识点】电阻串联、电路连接
【点评】本题通过黑盒电路的电阻值反推内部电路，考查对电阻串联规律和电路连接的理解，需结合已知电阻值逐步推理，是典型的电路分析题。
【难度系数】0.5
