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8. 转化思想 如图，AD所在直线是$△ ABC$的对称轴，点E，F是AD上的两点，连接BE，CE，BF，CF，若$BD=2$，$AD=4$，则图中阴影部分的面积为 （
A.4
B.8
C.12
D.6
（第8题）（第9题）
A
）A.4
B.8
C.12
D.6
（第8题）（第9题）
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质：轴对称图形中关于对称轴对称的部分面积完全相等。观察图形可知，右侧的阴影部分和左侧对应的对称位置的三角形面积相等，因此可以将分散的阴影部分拼接转化为规则的△ABD，只需计算△ABD的面积即可得到阴影部分总面积，无需分别计算每个阴影的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD=CD=2，且关于AD对称的三角形面积相等，
∴右侧阴影部分的面积与左侧对应位置的三角形面积相等，因此阴影部分的总面积等于△ABD的面积。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × AD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$
即阴影部分面积为4，故选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过轴对称的性质将分散的阴影面积转化为单个规则三角形的面积，简化了计算过程，核心考查对轴对称性质的理解和转化思想的运用，不需要逐一计算各阴影部分面积，减少了运算量。
【难度系数】
0.7
解题时先利用轴对称的性质：轴对称图形中关于对称轴对称的部分面积完全相等。观察图形可知，右侧的阴影部分和左侧对应的对称位置的三角形面积相等，因此可以将分散的阴影部分拼接转化为规则的△ABD，只需计算△ABD的面积即可得到阴影部分总面积，无需分别计算每个阴影的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD=CD=2，且关于AD对称的三角形面积相等，
∴右侧阴影部分的面积与左侧对应位置的三角形面积相等，因此阴影部分的总面积等于△ABD的面积。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × AD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$
即阴影部分面积为4，故选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过轴对称的性质将分散的阴影面积转化为单个规则三角形的面积，简化了计算过程，核心考查对轴对称性质的理解和转化思想的运用，不需要逐一计算各阴影部分面积，减少了运算量。
【难度系数】
0.7
9. [2026芜湖月考]如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（
D
）答案
9.D
解析
【分析】
本题属于折叠剪纸类问题，核心考查轴对称的性质，解题时可以按照“反向还原展开”的思路思考：首先明确折叠顺序是先沿AB右对折、再沿CD下对折，因此展开时要逆着折叠顺序，先展开CD方向的对折，再展开AB方向的对折，每一步展开都利用“折叠后的图形关于折痕成轴对称”的性质，补出对称的剪痕，最终就能匹配到正确的图形。如果空间想象有困难，也可以直接模拟操作过程，快速得到结果。
【解析】
我们按折叠的逆过程逐步还原展开：
1. 折叠过程回顾：先沿AB向右对折，再沿CD向下对折，此时整张纸叠为4层，重叠在原长方形的右下区域，剪下小三角形后，四层纸都留下了相同的三角形缺口。
2. 第一步展开：先还原沿CD向下的对折，根据轴对称性质，剪下的三角形会关于CD对称，出现2个大小、形状完全相同的三角形缺口，两个缺口均朝向CD折痕。
3. 第二步展开：再还原沿AB向右的对折，同理，刚才得到的2个缺口会关于AB对称，再出现2个相同的三角形缺口，最终4个缺口均朝向AB与CD的交点，仅选项D符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
1.轴对称的性质
2.图形的折叠
3.剪纸操作
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，既可以通过动手模拟操作快速得出答案，也可以利用轴对称性质反向推理展开过程，能有效考查空间想象能力和对轴对称性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于折叠剪纸类问题，核心考查轴对称的性质，解题时可以按照“反向还原展开”的思路思考：首先明确折叠顺序是先沿AB右对折、再沿CD下对折，因此展开时要逆着折叠顺序，先展开CD方向的对折，再展开AB方向的对折，每一步展开都利用“折叠后的图形关于折痕成轴对称”的性质，补出对称的剪痕，最终就能匹配到正确的图形。如果空间想象有困难，也可以直接模拟操作过程，快速得到结果。
【解析】
我们按折叠的逆过程逐步还原展开：
1. 折叠过程回顾：先沿AB向右对折，再沿CD向下对折，此时整张纸叠为4层，重叠在原长方形的右下区域，剪下小三角形后，四层纸都留下了相同的三角形缺口。
2. 第一步展开：先还原沿CD向下的对折，根据轴对称性质，剪下的三角形会关于CD对称，出现2个大小、形状完全相同的三角形缺口，两个缺口均朝向CD折痕。
3. 第二步展开：再还原沿AB向右的对折，同理，刚才得到的2个缺口会关于AB对称，再出现2个相同的三角形缺口，最终4个缺口均朝向AB与CD的交点，仅选项D符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
1.轴对称的性质
2.图形的折叠
3.剪纸操作
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，既可以通过动手模拟操作快速得出答案，也可以利用轴对称性质反向推理展开过程，能有效考查空间想象能力和对轴对称性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10.从镜子中看到的这个号码
218，实际上是
218，实际上是81938
。答案
10.81938
解析
【分析】
本题考查镜面对称的应用，解题的关键是明确镜面对称的本质是关于竖直直线的轴对称，特点是像与实物左右方向相反，上下方向不变。我们只需要将镜子中看到的号码整体沿竖直方向左右翻转，也可以把印有该号码的纸张反过来从背面透光看，就能得到实际的号码。
【解析】
镜面对称属于轴对称的一种，对称轴为竖直方向的直线，镜中图像和实际物体的左右方向完全相反，上下方向保持一致。我们将镜子中看到的号码进行左右翻转操作，每个字符左右反转且整体顺序颠倒后，即可得到实际的号码。
【答案】
81938
【知识点】
镜面对称；轴对称的性质
【点评】
本题是轴对称在生活中的实际应用题目，只要熟练掌握镜面对称左右相反的特点，就能快速得出答案，题目结合生活场景，能很好地考查学生对轴对称性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查镜面对称的应用，解题的关键是明确镜面对称的本质是关于竖直直线的轴对称，特点是像与实物左右方向相反，上下方向不变。我们只需要将镜子中看到的号码整体沿竖直方向左右翻转，也可以把印有该号码的纸张反过来从背面透光看，就能得到实际的号码。
【解析】
镜面对称属于轴对称的一种，对称轴为竖直方向的直线，镜中图像和实际物体的左右方向完全相反，上下方向保持一致。我们将镜子中看到的号码进行左右翻转操作，每个字符左右反转且整体顺序颠倒后，即可得到实际的号码。
【答案】
81938
【知识点】
镜面对称；轴对称的性质
【点评】
本题是轴对称在生活中的实际应用题目，只要熟练掌握镜面对称左右相反的特点，就能快速得出答案，题目结合生活场景，能很好地考查学生对轴对称性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11. [2026芜湖期末]如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，AD与BE相交于点F，若∠ABC=32°，∠ACB=18°，则∠BFD=
132°
。答案
11.132°
解析
【分析】
要求∠BFD的度数，可利用三角形外角的性质，将其转化为求∠BAD与∠ABE的和。首先根据三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数，再结合轴对称的性质，得到对应角相等，分别求出∠ABE和∠BAD的度数，最后相加即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 32° - 18° = 130°$
∵ $△ ABC$和$△ ABE$关于直线AB对称
∴ $∠ ABE = ∠ ABC = 32°$
∵ $△ ABC$和$△ ADC$关于直线AC对称
∴ $∠ DAC = ∠ BAC = 130°$
∴ $∠ BAD = 360° - ∠ BAC - ∠ DAC = 360° - 130° - 130° = 100°$
∵ $∠ BFD$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ $∠ BFD = ∠ BAD + ∠ ABE = 100° + 32° = 132°$
【答案】
$132°$
【知识点】
轴对称的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题将轴对称性质与三角形角的计算相结合，解题的关键是熟练掌握轴对称对应角相等的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质进行角度推导，注意周角在角度计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要求∠BFD的度数，可利用三角形外角的性质，将其转化为求∠BAD与∠ABE的和。首先根据三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数，再结合轴对称的性质，得到对应角相等，分别求出∠ABE和∠BAD的度数，最后相加即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 32° - 18° = 130°$
∵ $△ ABC$和$△ ABE$关于直线AB对称
∴ $∠ ABE = ∠ ABC = 32°$
∵ $△ ABC$和$△ ADC$关于直线AC对称
∴ $∠ DAC = ∠ BAC = 130°$
∴ $∠ BAD = 360° - ∠ BAC - ∠ DAC = 360° - 130° - 130° = 100°$
∵ $∠ BFD$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ $∠ BFD = ∠ BAD + ∠ ABE = 100° + 32° = 132°$
【答案】
$132°$
【知识点】
轴对称的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题将轴对称性质与三角形角的计算相结合，解题的关键是熟练掌握轴对称对应角相等的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质进行角度推导，注意周角在角度计算中的应用。
【难度系数】
0.7
12. 几何直观 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点B的对应点是点
(2)若ED=9，BF=6，求EF的长；
(3)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由.
(1)图中点B的对应点是点
D
，∠AED的对应角是∠ACB
；(2)若ED=9，BF=6，求EF的长；
(3)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由.
答案
12.解：(1)$D$；$∠ ACB$ (2)$EF=3$ (3)平行.理由略.
解析
【分析】
本题围绕轴对称的性质展开考查，解题思路清晰：1. 第一问根据轴对称的定义，成轴对称的两个图形中相互重合的点为对应点、相互重合的角为对应角，直接对应查找即可；2. 第二问先利用轴对称对应边相等得到BC的长度，再通过线段和差求出CF的长度，结合对称性质可知EF和CF相等，即可得到EF的长；3. 第三问利用“对称轴垂直平分任意一组对应点的连线”，可知BD、EC都垂直于直线MN，再根据“垂直于同一直线的两条直线互相平行”即可判断二者位置关系。
【解析】
(1) 已知△ABC和△ADE关于直线MN对称，根据轴对称对应点、对应角的定义，点B的对应点是点D，∠AED的对应角是∠ACB。
(2) 解：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称
∴对应边相等，即$BC=ED=9$，且对称轴上的点到两组对应点的距离相等，即$EF=CF$
又
∵$BC=BF+CF$，$BF=6$
∴$CF=BC-BF=9-6=3$
∴$EF=CF=3$
(3) $BD// EC$，理由如下：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称
∴对称轴MN垂直平分两组对应点的连线，即$MN⊥ BD$，$MN⊥ EC$
∵垂直于同一条直线的两条直线互相平行
∴$BD// EC$
【答案】
(1) $D$；$∠ ACB$
(2) $EF=3$
(3) 平行
【知识点】
轴对称的性质，平行线的判定，线段和差计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用类题目，核心是熟练掌握轴对称中对应点、对应边、对应角的关系，结合基础几何判定规则即可解题，侧重对基础概念的理解和应用考察。
【难度系数】
0.7
本题围绕轴对称的性质展开考查，解题思路清晰：1. 第一问根据轴对称的定义，成轴对称的两个图形中相互重合的点为对应点、相互重合的角为对应角，直接对应查找即可；2. 第二问先利用轴对称对应边相等得到BC的长度，再通过线段和差求出CF的长度，结合对称性质可知EF和CF相等，即可得到EF的长；3. 第三问利用“对称轴垂直平分任意一组对应点的连线”，可知BD、EC都垂直于直线MN，再根据“垂直于同一直线的两条直线互相平行”即可判断二者位置关系。
【解析】
(1) 已知△ABC和△ADE关于直线MN对称，根据轴对称对应点、对应角的定义，点B的对应点是点D，∠AED的对应角是∠ACB。
(2) 解：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称
∴对应边相等，即$BC=ED=9$，且对称轴上的点到两组对应点的距离相等，即$EF=CF$
又
∵$BC=BF+CF$，$BF=6$
∴$CF=BC-BF=9-6=3$
∴$EF=CF=3$
(3) $BD// EC$，理由如下：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称
∴对称轴MN垂直平分两组对应点的连线，即$MN⊥ BD$，$MN⊥ EC$
∵垂直于同一条直线的两条直线互相平行
∴$BD// EC$
【答案】
(1) $D$；$∠ ACB$
(2) $EF=3$
(3) 平行
【知识点】
轴对称的性质，平行线的判定，线段和差计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用类题目，核心是熟练掌握轴对称中对应点、对应边、对应角的关系，结合基础几何判定规则即可解题，侧重对基础概念的理解和应用考察。
【难度系数】
0.7
13.新考法(1)如图①,将笔记本活页一角折过去,使所折部分与活页在同一平面内,BC为折痕,∠1=30°,则∠A'BD=
(2)如果将图①的另一角∠A'BD斜折过去,使BD边与BA'重合,折痕为BE,点D的对应点为D',如图②,求∠2的度数;
(3)如果将图①的另一角斜折过去,使BD边落在∠1内部,折痕为BF,点D的对应点为D'',如图③,设∠A'BD''=α,∠FBD=β.
①α的取值范围为
②探究α与β之间的数量关系.
120°
;(2)如果将图①的另一角∠A'BD斜折过去,使BD边与BA'重合,折痕为BE,点D的对应点为D',如图②,求∠2的度数;
(3)如果将图①的另一角斜折过去,使BD边落在∠1内部,折痕为BF,点D的对应点为D'',如图③,设∠A'BD''=α,∠FBD=β.
①α的取值范围为
0°＜α＜30°
;②探究α与β之间的数量关系.
答案
13.解：(1)$120°$ (2)$∠ 2=60°$. (3)①$0°＜α＜30°$ ②$2β-α=120°$.
解析
【分析】
(1) 利用折叠前后对应角相等的性质，可知折痕BC平分∠ABA'，结合平角为180°，用平角减去两个∠1的度数即可求出∠A'BD。
(2) 第二次折叠后折痕BE平分∠A'BD，结合(1)中求出的∠A'BD的度数，取一半即可得到∠2的度数。
(3) ① 由于BD落在∠1内部，所以∠A'BD''的度数大于0°且小于∠1的度数，即可得到α的取值范围。② 根据折叠性质可知∠FBD=∠FBD''=β，即∠DBD''=2β，再结合∠DBD''等于原∠A'BD与α的和，代入已知角度即可推出α和β的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ ABC=∠1=30°$，
根据平角的定义，$∠ ABC+∠1+∠ A'BD=180°$，
代入数据得：$∠ A'BD=180°-30°-30°=120°$。
(2) 由折叠的性质可得：$∠2=∠ DBE$，即BE平分$∠ A'BD$，
因此$∠2=\frac{1}{2}∠ A'BD$，
将$∠ A'BD=120°$代入得：$∠2=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3) ① $\because$ BD边落在$∠1$内部，$∠1=30°$，
$\therefore 0°＜∠ A'BD''＜30°$，即$0°＜α＜30°$。
② 由折叠的性质可得：$∠ FBD=∠ FBD''=β$，
$\therefore ∠ DBD''=∠ FBD+∠ FBD''=2β$，
又$\because ∠ DBD''=∠ A'BD+∠ A'BD''$，且$∠ A'BD=120°$，$∠ A'BD''=α$，
$\therefore 2β=120°+α$，整理得$2β-α=120°$。
【答案】
(1) $120°$；(2) $∠2=60°$；(3) ① $0°＜α＜30°$；② $2β-α=120°$
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕折叠现象考查角度计算，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，理清各个角之间的和差关系即可求解，属于角度计算的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 利用折叠前后对应角相等的性质，可知折痕BC平分∠ABA'，结合平角为180°，用平角减去两个∠1的度数即可求出∠A'BD。
(2) 第二次折叠后折痕BE平分∠A'BD，结合(1)中求出的∠A'BD的度数，取一半即可得到∠2的度数。
(3) ① 由于BD落在∠1内部，所以∠A'BD''的度数大于0°且小于∠1的度数，即可得到α的取值范围。② 根据折叠性质可知∠FBD=∠FBD''=β，即∠DBD''=2β，再结合∠DBD''等于原∠A'BD与α的和，代入已知角度即可推出α和β的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ ABC=∠1=30°$，
根据平角的定义，$∠ ABC+∠1+∠ A'BD=180°$，
代入数据得：$∠ A'BD=180°-30°-30°=120°$。
(2) 由折叠的性质可得：$∠2=∠ DBE$，即BE平分$∠ A'BD$，
因此$∠2=\frac{1}{2}∠ A'BD$，
将$∠ A'BD=120°$代入得：$∠2=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3) ① $\because$ BD边落在$∠1$内部，$∠1=30°$，
$\therefore 0°＜∠ A'BD''＜30°$，即$0°＜α＜30°$。
② 由折叠的性质可得：$∠ FBD=∠ FBD''=β$，
$\therefore ∠ DBD''=∠ FBD+∠ FBD''=2β$，
又$\because ∠ DBD''=∠ A'BD+∠ A'BD''$，且$∠ A'BD=120°$，$∠ A'BD''=α$，
$\therefore 2β=120°+α$，整理得$2β-α=120°$。
【答案】
(1) $120°$；(2) $∠2=60°$；(3) ① $0°＜α＜30°$；② $2β-α=120°$
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕折叠现象考查角度计算，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，理清各个角之间的和差关系即可求解，属于角度计算的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
