概念建构
点(x,y)
关于x轴对称的点的坐标为
关于y轴对称的点的坐标为
A基础巩固
知识点1 点关于坐标轴对称

关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$

【分析】
要确定点关于坐标轴对称的点的坐标，可结合轴对称的性质思考：①关于x轴对称的两个点沿x轴折叠后能够重合，说明两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点沿y轴折叠后能够重合，说明两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此即可推导对应对称点的坐标。
【解析】
1. 求点$(x,y)$关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的两点，连线被x轴垂直平分，横坐标保持不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，因此对称点的坐标为$(x,-y)$。
2. 求点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的两点，连线被y轴垂直平分，纵坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数，因此对称点的坐标为$(-x,y)$。
【答案】
关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解并记忆点关于坐标轴对称的坐标变化规律，该知识点是轴对称作图、图形轴对称变换的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1.在平面直角坐标系中,已知点$P(2,1),M(a,3),N(-2,b)$.
(1)点$P$关于$x$轴对称的点的坐标是;
(2)点$P$关于$y$轴对称的点的坐标是;
(3)点$M$与点$N$关于$x$轴对称,则$a=$,$b=$;
(4)点$M$与点$N$关于$y$轴对称,则$a=$,$b=$.
【变式1·关系推理】已知$A,B$两点关于$x$轴对称,且点$A$的坐标是$(6,-3)$,则点$A,B$之间的距离为.
【变式2·逆向推理】若点$M(2,1+m)$关于$y$轴的对称点$M'$在第二象限,则$m$的取值范围是.
【变式3·实践应用】小亮在学完轴对称后,设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序.蝴蝶从点$A(-5,7)$出发,先关于$x$轴对称飞到点$B$,再关于$y$轴对称飞到点$C$,则点$C$的坐标为.

1.(1)$(2,-1)$ (2)$(-2,1)$ (3)$a=-2$，$b=-3$ (4)$a=2$，$b=3$
【变式1·关系推理】6
【变式2·逆向推理】$m＞-1$
【变式3·实践应用】$(5,-7)$

【分析】
本题核心考查平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变换规律，解题前先明确核心规律：①关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。各小问思路如下：
(1)(2)直接套用对称规律变换点P的坐标即可；(3)(4)利用对称规律列等式求解a、b的值；
变式1：先根据对称规律得到点B坐标，因两点横坐标相同，距离为纵坐标差的绝对值；
变式2：先写出点M关于y轴的对称点坐标，再结合第二象限点纵坐标为正的特征列不等式求解；
变式3：分步计算两次轴对称后的坐标，先算关于x轴对称的点B，再算点B关于y轴对称的点C即可。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数，点P(2,1)关于x轴对称的点坐标为$(2, -1)$；
(2) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，点P(2,1)关于y轴对称的点坐标为$(-2, 1)$；
(3) 点M、N关于x轴对称，故横坐标相等，纵坐标互为相反数，即$a=-2$，$3=-b$，解得$b=-3$；
(4) 点M、N关于y轴对称，故纵坐标相等，横坐标互为相反数，即$b=3$，$a=-(-2)=2$；
【变式1·关系推理】A、B关于x轴对称，$A(6,-3)$，则B点坐标为$(6,3)$，两点横坐标相同，距离为$|3 - (-3)|=6$；
【变式2·逆向推理】点$M(2,1+m)$关于y轴的对称点$M'$坐标为$(-2, 1+m)$，第二象限内点的纵坐标大于0，故$1+m＞0$，解得$m＞-1$；
【变式3·实践应用】点$A(-5,7)$关于x轴对称的点B坐标为$(-5, -7)$，点B关于y轴对称的点C坐标为$(5, -7)$。
【答案】
(1)$(2,-1)$ (2)$(-2,1)$ (3)$a=-2$，$b=-3$ (4)$a=2$，$b=3$
【变式1·关系推理】6
【变式2·逆向推理】$m＞-1$
【变式3·实践应用】$(5,-7)$
【知识点】
1.坐标轴对称的点的坐标规律 2.象限内点的坐标特征 3.两点间距离计算
【点评】
本题围绕坐标表示轴对称的核心知识点设计，题型包含基础公式应用、关系推理、逆向推导和实践应用，能全面考查学生对轴对称坐标变换规律的掌握程度，属于基础巩固类习题，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

元认知·总结
关于x轴对称的两点，横坐标，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标。

关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等。

【分析】
我们可以结合坐标系的特点或者举实例来推导规律：首先，x轴是水平数轴，关于x轴对称的两点水平位置相同，因此横坐标数值一致；两点分别在x轴上下方，到x轴的距离相等、方向相反，因此纵坐标互为相反数。其次，y轴是竖直数轴，关于y轴对称的两点竖直位置相同，因此纵坐标数值一致；两点分别在y轴左右侧，到y轴的距离相等、方向相反，因此横坐标互为相反数。也可以举具体坐标，分别找它关于x轴、y轴对称的点的坐标，对比数值就能快速得出结论。
【解析】
我们通过具体例子验证规律：取任意点坐标，例如点P(3,4)。
1. 点P关于x轴对称的点为P₁(3,-4)，对比P和P₁的坐标：横坐标均为3，数值相等；纵坐标4和-4互为相反数，因此第一空填“相等”。
2. 点P关于y轴对称的点为P₂(-3,4)，对比P和P₂的坐标：横坐标3和-3互为相反数；纵坐标均为4，数值相等，因此第二空填“相等”。
【答案】
关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等。
【知识点】
1. x轴对称点的坐标特征
2. y轴对称点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对平面直角坐标系中轴对称点的坐标变化规律的记忆和理解，是后续学习坐标系内图形轴对称变换的基础，需要熟练掌握规律。
【难度系数】
0.9

2.在平面直角坐标系中,将点$P(-3,2)$向右平移3个单位长度到点$P'$,则点$P'$关于$x$轴的对称点的坐标为 ()

A.$(0,-2)$
B.$(0,2)$
C.$(-6,2)$
D.$(-6,-2)$
【变式·逆向推理】把点$A(a,-2)$向左平移4个单位长度,所得的点与点$A$关于$y$轴对称,则$a$的值为.

2.A
【变式·逆向推理】2

【分析】
原题解题需分两步：第一步根据点平移的坐标变化规律求出平移后点$P'$的坐标，第二步根据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点坐标，匹配选项即可。
变式属于逆向推理题，先写出点A平移后的坐标，再根据“关于y轴对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等”的性质列方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
原题解答
1. 求平移后$P'$的坐标：
点平移坐标规律为“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”。
点$P(-3,2)$向右平移3个单位，横坐标变为$-3+3=0$，纵坐标不变仍为2，因此$P'(0,2)$。
2. 求$P'$关于x轴的对称点坐标：
关于x轴对称的点坐标特征为“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，因此$P'(0,2)$的对称点坐标为$(0,-2)$，对应选项A。
变式解答
1. 点$A(a,-2)$向左平移4个单位，根据“横坐标左减”规律，所得点坐标为$(a-4,-2)$。
2. 该点与A关于y轴对称，关于y轴对称的点坐标特征为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，因此列方程：
$a+(a-4)=0$
解得$2a=4$，即$a=2$。
【答案】
2.A；【变式·逆向推理】2
【知识点】
1. 坐标平移规律
2. 轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题及变式属于基础题型，核心考查坐标平移和轴对称对应的坐标变化规则，变式需要结合对称性质列方程求解，熟练掌握相关知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3.已知点$A(2m-n,m-3),B(2n-1,-m+n)$.
(1)若点$A,B$关于$x$轴对称,求$m,n$的值;
(2)若点$A,B$关于$y$轴对称,求$m,n$的值.

3.解: (1)$m$的值为4,$n$的值为3. (2)$m$的值为1,$n$的值为$-1$.

【分析】
解题核心是掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律。第(1)问：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列二元一次方程组即可求解m、n；第(2)问：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数，同理列二元一次方程组求解即可。
【解析】
(1) 已知点A、B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标性质，可得方程组：
$\begin{cases}2m - n = 2n - 1 \\ (m - 3) + (-m + n) = 0 \end{cases}$
化简第二个方程得：$n-3=0$，解得$n=3$。
将$n=3$代入第一个方程：$2m-3=2×3-1$，解得$m=4$。
(2) 已知点A、B关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标性质，可得方程组：
$\begin{cases}(2m - n) + (2n - 1) = 0 \\ m - 3 = -m + n \end{cases}$
化简第一个方程得$2m+n=1$ ①，化简第二个方程得$2m-n=3$ ②。
①+②得$4m=4$，解得$m=1$，将$m=1$代入①得$2×1 +n=1$，解得$n=-1$。
【答案】
(1)$m$的值为4，$n$的值为3；(2)$m$的值为1，$n$的值为$-1$。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是坐标轴对称性质的基础应用题型，侧重考察对基础规律的记忆与应用，解题关键是根据对称性质准确列出方程组，计算过程简单。
【难度系数】
0.8

4.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A'的坐标为。

4.$(3,2)$

【分析】
要得到点A关于y轴对称的点A'的坐标，首先需要确定点A的原始坐标：观察方格坐标系，每个小方格边长为单位1，根据点A在坐标系中的位置，先读出其横、纵坐标；再利用关于y轴对称的点的坐标规律进行计算，即可得到A'的坐标。
【解析】
第一步：确定点A的坐标，观察坐标系可得，点A在y轴左侧，距离y轴3个单位长度，故横坐标为-3；在x轴上方，距离x轴2个单位长度，故纵坐标为2，即A的坐标为$(-3,2)$。
第二步：根据关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。因此点A的对应点A'的横坐标为$-(-3)=3$，纵坐标与A相同为2，即A'的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
点的坐标确定，关于y轴对称的坐标规律
【点评】
本题是坐标与轴对称的基础应用题，解题关键是准确读取原点点坐标，牢记轴对称对应的坐标变化规律，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. [2026 芜湖期末]如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$各顶点的坐标分别为$A(4,0)$,$B(-1,4)$,$C(-3,1)$.
(1)在图中作$△ A'B'C'$,使$△ A'B'C'$和$△ ABC$关于$x$轴对称;
(2)写出$A'$,$B'$,$C'$的坐标;
(3)求$△ ABC$的面积.

5.解: (1)图略. (2)$A'(4,0),B'(-1,-4),C'(-3,-1)$. (3)$\frac{23}{2}$.

【分析】
(1)要作△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先找到A、B、C三点关于x轴的对称点，再依次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2)直接利用关于x轴对称的点的坐标规律，结合已知A、B、C的坐标，就能写出对应对称点的坐标。
(3)求网格中不规则三角形的面积，适合用割补法：将△ABC放在一个能完全覆盖它的最小矩形中，用矩形的面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1)作图步骤：①根据关于x轴对称的点的坐标特征，分别作出点A(4,0)、B(-1,4)、C(-3,1)关于x轴的对称点A'、B'、C'；②按顺序连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'即为所求（图略）。
(2)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此：
A点坐标为(4,0)，对称点A'的坐标为(4,0)；
B点坐标为(-1,4)，对称点B'的坐标为(-1,-4)；
C点坐标为(-3,1)，对称点C'的坐标为(-3,-1)。
(3)用割补法计算面积：
作覆盖△ABC的最小矩形，矩形的横向长度为$4 - (-3) = 7$，纵向高度为$4 - 0 = 4$，矩形面积为$7×4 = 28$。
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
① 以B、C为顶点的直角三角形：两条直角边长分别为$|-1 - (-3)|=2$，$|4 - 1|=3$，面积为$\frac{1}{2}×2×3=3$；
② 以A、B为顶点的直角三角形：两条直角边长分别为$|4 - (-1)|=5$，$|4 - 0|=4$，面积为$\frac{1}{2}×5×4=10$；
③ 以A、C为顶点的直角三角形：两条直角边长分别为$|4 - (-3)|=7$，$|1 - 0|=1$，面积为$\frac{1}{2}×7×1=\frac{7}{2}$；
因此△ABC的面积为$28 - 3 - 10 - \frac{7}{2} = \frac{23}{2}$。
【答案】
(1)图略；(2)$A'(4,0),B'(-1,-4),C'(-3,-1)$；(3)$\frac{23}{2}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律，割补法求面积，轴对称作图
【点评】
本题基础性较强，主要考查轴对称变换的作图、坐标特征以及网格中图形面积的计算，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，以及灵活运用割补法计算不规则图形面积是解题的核心。
【难度系数】
0.7