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1. 如图，矩形绿地的长、宽分别为30 m，20 m. 现将矩形绿地的长、宽各增加x m. 设新绿地的周长为y m，面积为S m². 当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(
A.一次函数关系，二次函数关系
B.正比例函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，一次函数关系
D.正比例函数关系，一次函数关系
A
).A.一次函数关系，二次函数关系
B.正比例函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，一次函数关系
D.正比例函数关系，一次函数关系
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路：首先根据题意表示出长和宽增加后新绿地的长与宽，再分别代入矩形周长、面积公式，推导出y与x、S与x的函数解析式，最后结合一次函数、二次函数、正比例函数的定义判断函数关系即可。
第一步：明确原矩形长30m、宽20m，各增加x m后，新长为$(30+x)\mathrm{m}$，新宽为$(20+x)\mathrm{m}$；
第二步：代入周长公式得到y关于x的解析式，判断其函数类型；
第三步：代入面积公式得到S关于x的解析式，判断其函数类型，对应选项选出答案。
【解析】
解：由题意可知，绿地的长、宽各增加x m后，新绿地的长为$(30+x)\mathrm{m}$，宽为$(20+x)\mathrm{m}$。
1. 推导周长y与x的函数关系：
矩形周长公式为$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入得：
$y=2[(30+x)+(20+x)]$
化简得：$y=2(50+2x)=4x+100$，符合一次函数$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的形式，属于一次函数，且存在常数项100，不属于正比例函数。
2. 推导面积S与x的函数关系：
矩形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$S=(30+x)(20+x)$
展开化简得：$S=x^2+50x+600$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的形式，属于二次函数。
因此y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
矩形周长与面积计算；一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查函数类型的判断，解题的关键是正确列出两个函数的解析式，再结合各类函数的定义逐一判断即可，需要注意正比例函数是特殊的一次函数，需满足常数项为0的条件。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先根据题意表示出长和宽增加后新绿地的长与宽，再分别代入矩形周长、面积公式，推导出y与x、S与x的函数解析式，最后结合一次函数、二次函数、正比例函数的定义判断函数关系即可。
第一步：明确原矩形长30m、宽20m，各增加x m后，新长为$(30+x)\mathrm{m}$，新宽为$(20+x)\mathrm{m}$；
第二步：代入周长公式得到y关于x的解析式，判断其函数类型；
第三步：代入面积公式得到S关于x的解析式，判断其函数类型，对应选项选出答案。
【解析】
解：由题意可知，绿地的长、宽各增加x m后，新绿地的长为$(30+x)\mathrm{m}$，宽为$(20+x)\mathrm{m}$。
1. 推导周长y与x的函数关系：
矩形周长公式为$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入得：
$y=2[(30+x)+(20+x)]$
化简得：$y=2(50+2x)=4x+100$，符合一次函数$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的形式，属于一次函数，且存在常数项100，不属于正比例函数。
2. 推导面积S与x的函数关系：
矩形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$S=(30+x)(20+x)$
展开化简得：$S=x^2+50x+600$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的形式，属于二次函数。
因此y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
矩形周长与面积计算；一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查函数类型的判断，解题的关键是正确列出两个函数的解析式，再结合各类函数的定义逐一判断即可，需要注意正比例函数是特殊的一次函数，需满足常数项为0的条件。
【难度系数】
0.75
2. 篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛。设有x个球队参赛，计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为
$y=x^2-x$
。答案
2. $y=x^2-x$
解析
【分析】
要推导y与x的函数关系，可从比赛计数逻辑入手：首先明确共有x个参赛队，每个队不能和自己比赛，因此每个队需要和剩余(x-1)个队对阵。题目要求每两队之间打两场比赛，我们可以先统计所有球队的总参赛次数，再注意到每场比赛会被对阵的两个队各统计1次，因此需要去重得到实际总场次；也可以先计算每两队仅赛1场的单循环总场次，再乘以2得到双循环的总场次。
【解析】
方法1：
1. 单个球队需要和其余(x-1)个球队各赛2场，因此单个球队的参赛场次为2(x-1)场；
2. x个球队统计得到的总参赛次数为$x·2(x-1)$场；
3. 每场比赛会被两个参赛队各记录1次，因此上述统计结果是实际总场次的2倍，实际总场次：
$y=\frac{x·2(x-1)}{2}=x(x-1)=x^2-x$
方法2：
1. 若每两队仅赛1场（单循环赛），总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$场（每两队的组合仅计数1次）；
2. 本题为每两队赛2场的双循环赛，总场次为单循环的2倍，因此：
$y=2×\frac{x(x-1)}{2}=x(x-1)=x^2-x$
【答案】
$y=x^2-x$
【知识点】
函数关系式建立；比赛场次计数；二次函数概念
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是理清比赛计数规则，区分双循环和单循环的计数差异，易错点是计数时出现重复计算或者漏乘2的问题。
【难度系数】
0.8
要推导y与x的函数关系，可从比赛计数逻辑入手：首先明确共有x个参赛队，每个队不能和自己比赛，因此每个队需要和剩余(x-1)个队对阵。题目要求每两队之间打两场比赛，我们可以先统计所有球队的总参赛次数，再注意到每场比赛会被对阵的两个队各统计1次，因此需要去重得到实际总场次；也可以先计算每两队仅赛1场的单循环总场次，再乘以2得到双循环的总场次。
【解析】
方法1：
1. 单个球队需要和其余(x-1)个球队各赛2场，因此单个球队的参赛场次为2(x-1)场；
2. x个球队统计得到的总参赛次数为$x·2(x-1)$场；
3. 每场比赛会被两个参赛队各记录1次，因此上述统计结果是实际总场次的2倍，实际总场次：
$y=\frac{x·2(x-1)}{2}=x(x-1)=x^2-x$
方法2：
1. 若每两队仅赛1场（单循环赛），总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$场（每两队的组合仅计数1次）；
2. 本题为每两队赛2场的双循环赛，总场次为单循环的2倍，因此：
$y=2×\frac{x(x-1)}{2}=x(x-1)=x^2-x$
【答案】
$y=x^2-x$
【知识点】
函数关系式建立；比赛场次计数；二次函数概念
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是理清比赛计数规则，区分双循环和单循环的计数差异，易错点是计数时出现重复计算或者漏乘2的问题。
【难度系数】
0.8
3. 已知函数$y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$，回答下列问题：
(1)当y是x的一次函数时，求m的值并写出函数解析式；
(2)当y是x的二次函数时，求m的取值范围。
(1)当y是x的一次函数时，求m的值并写出函数解析式；
(2)当y是x的二次函数时，求m的取值范围。
答案
(1)$m_1=3$，$m_2=-1$. 当$m=3$时，$y=2x+9$；当$m=-1$时，$y=-2x+1$.
(2)$m≠3$且$m≠-1$
(2)$m≠3$且$m≠-1$
解析
【分析】
(1)要确定y是x的一次函数时m的值，需结合一次函数的定义思考：一次函数的自变量最高次数为1，因此首先要让二次项的系数等于0，同时保证一次项系数不为0（否则就不是一次函数），先解二次项系数为0对应的一元二次方程得到m的可能值，再验证一次项系数是否符合要求，最后代入原式写出函数解析式即可。
(2)要确定y是x的二次函数时m的取值范围，结合二次函数的定义：二次函数的自变量最高次数为2，因此只需保证二次项系数不等于0，解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1)若y是x的一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 3 = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m - 3 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
检验：当$m=3$时，$m-1=2≠0$，符合要求；当$m=-1$时，$m-1=-2≠0$，符合要求。
将$m=3$代入原函数，得解析式为$y=(3-1)x + 3^2 = 2x + 9$；
将$m=-1$代入原函数，得解析式为$y=(-1-1)x + (-1)^2 = -2x + 1$。
(2)若y是x的二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)≠0$，解得$m≠3$且$m≠-1$。
【答案】
(1)$m_1=3$，$m_2=-1$. 当$m=3$时，$y=2x+9$；当$m=-1$时，$y=-2x+1$；
(2)$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于函数概念类基础题，核心是区分一次函数和二次函数对系数的不同要求，解题时要注意不要遗漏一次函数中一次项系数不为0的限制条件，避免出现不必要的错误。
【难度系数】
0.8
(1)要确定y是x的一次函数时m的值，需结合一次函数的定义思考：一次函数的自变量最高次数为1，因此首先要让二次项的系数等于0，同时保证一次项系数不为0（否则就不是一次函数），先解二次项系数为0对应的一元二次方程得到m的可能值，再验证一次项系数是否符合要求，最后代入原式写出函数解析式即可。
(2)要确定y是x的二次函数时m的取值范围，结合二次函数的定义：二次函数的自变量最高次数为2，因此只需保证二次项系数不等于0，解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1)若y是x的一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 3 = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m - 3 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
检验：当$m=3$时，$m-1=2≠0$，符合要求；当$m=-1$时，$m-1=-2≠0$，符合要求。
将$m=3$代入原函数，得解析式为$y=(3-1)x + 3^2 = 2x + 9$；
将$m=-1$代入原函数，得解析式为$y=(-1-1)x + (-1)^2 = -2x + 1$。
(2)若y是x的二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)≠0$，解得$m≠3$且$m≠-1$。
【答案】
(1)$m_1=3$，$m_2=-1$. 当$m=3$时，$y=2x+9$；当$m=-1$时，$y=-2x+1$；
(2)$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于函数概念类基础题，核心是区分一次函数和二次函数对系数的不同要求，解题时要注意不要遗漏一次函数中一次项系数不为0的限制条件，避免出现不必要的错误。
【难度系数】
0.8
4. 关于$x$的函数$y=(a^2+2a+3)x^2+3ax+1$，甲说：“此函数不一定是二次函数。”乙说：“此函数一定是二次函数。”丙说：“此函数是不是二次函数与$a$的取值有关。”你认为谁的说法正确？为什么？
答案
4. 乙的说法正确. 理由如下：$a^2+2a+3=(a+1)^2+2$. 无论$a$取何值，$(a+1)^2≥0$，即有$(a+1)^2+2≥2$，所以$a^2+2a+3≥2$，故无论$a$取何值，该函数一定是二次函数.
解析
【分析】
要判断该函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的核心判定条件：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的函数为二次函数，即二次项系数不能为0。本题中二次项系数是含参数$a$的代数式$a^2+2a+3$，因此解题关键是判断该代数式是否可能等于0：若代数式恒不为0，则函数一定是二次函数；若存在$a$使代数式为0，则函数不一定是二次函数。我们可以通过配方法对$a^2+2a+3$变形，结合平方的非负性判断其取值范围，即可得出结论。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2+2a+3=(a^2+2a+1)+2=(a+1)^2+2$
根据平方的非负性，无论$a$取何实数，都有$(a+1)^2≥0$，因此：
$(a+1)^2+2≥0+2=2＞0$
即无论$a$取何值，二次项系数$a^2+2a+3$恒大于0，满足二次函数二次项系数不为0的要求，因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确。理由如下：$a^2+2a+3=(a+1)^2+2$。无论$a$取何值，$(a+1)^2≥0$，即有$(a+1)^2+2≥2$，所以$a^2+2a+3≥2$，故无论$a$取何值，该函数一定是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 配方法
3. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题核心是抓住二次函数二次项系数不为0的要求，通过配方法分析含参系数的取值范围即可解决问题，易错点是看到系数含参数就直接认为函数类型与参数有关，忽略了对参数式取值范围的推导。
【难度系数】
0.7
要判断该函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的核心判定条件：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的函数为二次函数，即二次项系数不能为0。本题中二次项系数是含参数$a$的代数式$a^2+2a+3$，因此解题关键是判断该代数式是否可能等于0：若代数式恒不为0，则函数一定是二次函数；若存在$a$使代数式为0，则函数不一定是二次函数。我们可以通过配方法对$a^2+2a+3$变形，结合平方的非负性判断其取值范围，即可得出结论。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2+2a+3=(a^2+2a+1)+2=(a+1)^2+2$
根据平方的非负性，无论$a$取何实数，都有$(a+1)^2≥0$，因此：
$(a+1)^2+2≥0+2=2＞0$
即无论$a$取何值，二次项系数$a^2+2a+3$恒大于0，满足二次函数二次项系数不为0的要求，因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确。理由如下：$a^2+2a+3=(a+1)^2+2$。无论$a$取何值，$(a+1)^2≥0$，即有$(a+1)^2+2≥2$，所以$a^2+2a+3≥2$，故无论$a$取何值，该函数一定是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 配方法
3. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题核心是抓住二次函数二次项系数不为0的要求，通过配方法分析含参系数的取值范围即可解决问题，易错点是看到系数含参数就直接认为函数类型与参数有关，忽略了对参数式取值范围的推导。
【难度系数】
0.7
