11. NEW 数学文化·古代地图制作方法 “计里画方”是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志。制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离。在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上。若某次测量中$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$，则下列结论中错误的是（）

A.$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{5}$
B.$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{5}$
C.$\frac{△ EFC的周长}{△ ABC的周长}=\frac{1}{6}$
D.$\frac{△ EFC的面积}{△ ABC的面积}=\frac{1}{36}$

11.A

【分析】
首先根据题意可判断EF平行于AB，进而推出△EFC与△ABC相似；再结合已知$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$求出两个三角形的相似比，最后利用相似三角形对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一判断选项即可。
【解析】
由题意可知$EF// AB$，
$\therefore ∠ CEF=∠ A，∠ CFE=∠ CBA$，
$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\because \frac{CF}{BF}=\frac{1}{5}$，设$CF=k$，则$BF=5k$，
$\therefore BC=BF+CF=5k+k=6k$，
$\therefore △ EFC$与$△ ABC$的相似比为$\frac{CF}{BC}=\frac{k}{6k}=\frac{1}{6}$。
逐一分析选项：
A. 相似三角形对应边成比例，$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{6}≠\frac{1}{5}$，该结论错误；
B. 由相似比得$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{6}$，即$\frac{CE}{AE+CE}=\frac{1}{6}$，整理得$CE=\frac{1}{5}AE$，即$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{5}$，该结论正确；
C. 相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{△ EFC的周长}{△ ABC的周长}=\frac{1}{6}$，该结论正确；
D. 相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{△ EFC的面积}{△ ABC的面积}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，该结论正确。
题目要求选错误的结论，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合古代测量的数学文化场景，考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的核心是准确求出两个相似三角形的相似比，再结合相似的性质判断各选项，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7

12.如图，将△ABC沿边BC上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，A'B'，A'C'分别与BC交于点E，F.已知△ABC的周长为15 cm，△A'EF的周长为9 cm，AA'=1 cm，则A'D= cm.

12.$\frac{3}{2}$

【分析】
本题可利用平移的性质得到相似三角形，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质建立方程求解。首先明确平移前后对应边平行，可证△A'EF与△ABC相似，其次AD是BC的中线，平移后相似比等于A'D与AD的比值，且AD=AA'+A'D，代入已知数据即可求出A'D的长度。
【解析】
∵ 将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴ A'E//AB，A'F//AC，
∴ △A'EF∽△ABC。
根据相似三角形的性质，相似比等于周长之比，即相似比$k=\frac{C_{△A'EF}}{C_{△ABC}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。
又
∵ AD是BC的中线，平移后对应中线的比等于相似比，即$k=\frac{A'D}{AD}$，且$AD=AA'+A'D=1+A'D$，
∴ $\frac{A'D}{1+A'D}=\frac{3}{5}$，
交叉相乘得：$5A'D=3(1+A'D)$，
展开整理得：$2A'D=3$，
解得$A'D=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平移的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题将平移变换与相似三角形的性质结合考查，解题关键是找准相似三角形的相似比与对应线段之间的数量关系，通过建立方程即可快速求解，是典型的几何小综合题。
【难度系数】
0.6

13. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$AB,AC,BC$上,连接$DE,EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形,$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB=8$,求线段$AD$的长.

(2)若$△ ADE$的面积为1,求$□ BFED$的面积.

13. 解:(1)$\because$四边形$BFED$是平行四边形,$\therefore DE// BF$,即$DE// BC$.
$\therefore ∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB. \therefore △ADE∽△ABC. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}. \because AB=8,\therefore AD=2$.
(2)$\because △ADE∽△ABC,\therefore \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^{2}=(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}. \because S_{△ADE}=1,\therefore S_{△ABC}=16. \because$四边形$BFED$是平行四边形,$\therefore EF// AB. \therefore ∠CEF=∠CAB,∠CFE=∠CBA. \therefore △EFC∽△ABC. \because \frac{DE}{BC}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{4},\therefore \frac{FC}{BC}=\frac{3}{4}. \therefore \frac{S_{△EFC}}{S_{△ABC}}=(\frac{FC}{BC})^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}. \therefore S_{△EFC}=9. \therefore S_{□BFED}=16-9-1=6$.

【分析】
（1）首先根据平行四边形对边平行的性质可得$DE// BC$，由此可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，结合已知的相似比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$AD$的长度；
（2）先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合$△ ADE$的面积求出$△ ABC$的总面积；再由平行四边形对边平行的性质可得$EF// AB$，判定$△ EFC$与$△ ABC$相似，先求出$FC$与$BC$的比值，再用相似三角形面积比的性质求出$△ EFC$的面积，最后用$△ ABC$的面积减去$△ ADE$和$△ EFC$的面积，即可得到平行四边形$BFED$的面积。
【解析】
(1) $\because$四边形$BFED$是平行四边形，
$\therefore DE// BF$，即$DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
$\because AB=8$，
$\therefore AD=8× \frac{1}{4}=2$。
(2) $\because △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
$\because S_{△ ADE}=1$，
$\therefore S_{△ ABC}=1× 16=16$，
$\because$四边形$BFED$是平行四边形，
$\therefore EF// AB$，$DE=BF$，
$\therefore ∠ CEF=∠ CAB$，$∠ CFE=∠ CBA$，
$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$，
$\because \frac{DE}{BC}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{FC}{BC}=\frac{BC-BF}{BC}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{BC})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
$\therefore S_{△ EFC}=16× \frac{9}{16}=9$，
$\therefore S_{□BFED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}=16-1-9=6$。
【答案】
(1) $AD=2$；(2) $□ BFED$的面积为$6$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合基础题，解题的关键是利用平行四边形的对边平行得到相似三角形，再结合相似三角形的边、面积对应性质逐步计算，解题逻辑清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7

14. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，点$P$从点$A$出发沿折线$AB－BC$匀速移动，到达点$C$时停止。点$Q$在边$AC$上随点$P$移动，且始终保持$∠ APQ=∠ B$。
(1) 如图2，当点$P$在$BC$上时，求点$P$与点$A$的最短距离。
(2) 如图1，当点$P$在$AB$上，且$PQ$将$△ ABC$的面积分成上下$4:5$两部分时，求$AP$的长。
(3) 如图2，当点$P$在$BC$上，且$CQ=3$时，求$BP$的长。

14. 解:(1)过点$A$作$AH⊥BC$于点$H. \because AB=AC,AH⊥BC,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=4. \because AB=5,\therefore AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=3. \therefore$当点$P$在$BC$上时,点$P$与点$A$的最短距离为 3. (2)$\because ∠APQ=∠B,∠PAQ=∠BAC,\therefore △APQ∽△ABC. \because S_{△APQ}: S_{四边形PBCQ}=4:5,\therefore \frac{S_{△APQ}}{S_{△ABC}}=(\frac{AP}{AB})^{2}=\frac{4}{9}. \therefore \frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}. \therefore AP=\frac{10}{3}$. (3)设$BP=x$,则$PC=8-x. \because ∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B,\therefore ∠BAP=∠CPQ. \because AB=AC,\therefore ∠B=∠C. \therefore △ABP∽△PCQ. \therefore \frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}. \therefore \frac{5}{8-x}=\frac{x}{3}$,解得$x_1=3,x_2=5. \therefore BP$的长为 3 或 5.

【分析】
(1) 点到直线的最短距离为垂线段长度，△ABC是等腰三角形，过A作BC边上的高AH，利用等腰三角形三线合一可求出BH的长度，再通过勾股定理计算AH的长度，就是点P在BC上时到A的最短距离。
(2) 由∠APQ=∠B，公共角∠PAQ=∠BAC，可判定△APQ∽△ABC；PQ将△ABC面积分为4:5两部分，可得△APQ与△ABC的面积比为4:9，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出AP的长度。
(3) 设BP=x，先利用外角性质导角：∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，结合已知∠APQ=∠B，可得∠BAP=∠CPQ，再由等腰三角形底角相等得∠B=∠C，即可判定△ABP∽△PCQ，根据相似三角形对应边成比例列方程求解，即可得到BP的长度。
【解析】
(1) 过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$。$\because AB=AC,AH⊥BC$，$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=4$。$\because AB=5$，$\therefore AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。$\therefore$当点$P$在$BC$上时，点$P$与点$A$的最短距离为3。
(2) $\because ∠APQ=∠B,∠PAQ=∠BAC$，$\therefore △APQ∽△ABC$。$\because S_{△APQ}: S_{四边形PBCQ}=4:5$，$\therefore \frac{S_{△APQ}}{S_{△ABC}}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$。由相似三角形的性质得$\frac{S_{△APQ}}{S_{△ABC}}=(\frac{AP}{AB})^{2}=\frac{4}{9}$，$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}$（边长为正，舍去负解），$\therefore AP=\frac{2}{3}×5=\frac{10}{3}$。
(3) 设$BP=x$，则$PC=8-x$。$\because ∠APC$是$△ ABP$的外角，$\therefore ∠APC=∠B+∠BAP$，又$\because ∠APC=∠APQ+∠CPQ$，且$∠APQ=∠B$，$\therefore ∠BAP=∠CPQ$。$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠C$，$\therefore △ABP∽△PCQ$。$\therefore \frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$，代入数据得$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{3}$，整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3,x_2=5$，均符合题意。$\therefore BP$的长为3或5。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
(3) $\boxed{3}$或$\boxed{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是动态几何类的常考题型，综合了垂线段最短、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质等知识，既考查基础知识点的应用，也考查导角能力、方程思想的运用，第三问解题时需注意检验解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.65