专题三 基本图形中的动点问题
典型例题
如图，线段 $ AB = 20 \, \mathrm{cm} $，$ C $ 为 $ AB $ 的中点，点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以 $ 2 \, \mathrm{cm/s} $ 的速度沿线段 $ AB $ 向右运动，到点 $ B $ 停止；点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以 $ 1 \, \mathrm{cm/s} $ 的速度沿线段 $ AB $ 向左运动，到点 $ A $ 停止。若 $ P $，$ Q $ 两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止。设点 $ P $ 的运动时间为 $ x \, \mathrm{s} $（$ x ＞ 0 $）。
(1) 求线段 $ AC $ 的长度。
(2) $ P $，$ Q $ 开始运动后，是否存在某一时刻，使得在 $ C $，$ P $，$ Q $ 这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的 $ x $ 的值；若不存在，请说明理由。
解 (1) $ AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 20 = 10(\mathrm{cm}) $。
(2) 存在。
依题意得 $ AP = 2x \, \mathrm{cm} $，$ BQ = x \, \mathrm{cm} $，由(1)可知 $ AC = BC = 10 \, \mathrm{cm} $，当点 $ P $ 运动至点 $ B $ 时，经过 $ \frac{20}{2} = 10(\mathrm{s}) $，此时点 $ Q $ 运动距离为 $ 1 × 10 = 10(\mathrm{cm}) $，即点 $ Q $ 运动至点 $ C $，此时 $ P $，$ Q $ 两点停止运动。故点 $ Q $ 运动过
程中不经过点 $ C $。
因此分三种情况讨论：
①当点 $ C $ 为 $ PQ $ 的中点时，$ PC = QC $，$ P $，$ Q $ 开始运动后，因为点 $ P $ 运动得更快，所以当点 $ P $ 在点 $ C $ 左侧时，不可能满足 $ PC = QC $，又点 $ Q $ 不可能在点 $ C $ 左侧，所以点 $ C $ 不可能是 $ PQ $ 的中点。
②当点 $ P $ 为 $ CQ $ 的中点时，$ PC = PQ $，如图①所示。
因为 $ PC = AP - AC = (2x - 10) \, \mathrm{cm} $，$ BP = AB - AP = (20 - 2x) \, \mathrm{cm} $，所以 $ PQ = BP - BQ = 20 - 2x - x = (20 - 3x) \, \mathrm{cm} $，所以 $ 2x - 10 = 20 - 3x $，解得 $ x = 6 $。
③当 $ Q $ 为 $ PC $ 的中点时，则 $ PC = 2CQ $，如图②所示。
因为 $ PC = AP - AC = (2x - 10) \, \mathrm{cm} $，$ CQ = BC - BQ = (10 - x) \, \mathrm{cm} $，所以 $ 2x - 10 = 2(10 - x) $，解得 $ x = 7.5 $。
综上所述，当点 $ P $ 的运动时间为 $ 6 \, \mathrm{s} $ 或 $ 7.5 \, \mathrm{s} $ 时，在 $ C $，$ P $，$ Q $ 三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点。
技巧点拨
解决动点问题时，通常需分情况讨论，并根据题意列出方程。例如本例题第(2)问就需要先分三种情况讨论：①当点 $ C $ 为 $ PQ $ 的中点时，②当点 $ P $ 为 $ CQ $ 的中点时；③当点 $ Q $ 为 $ PC $ 的中点时；再根据每一种情况正确地画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出 $ x $ 即可。

解：
(1) 因为C为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm}$。
(2) 存在满足条件的时刻。
依题意得 $AP = 2x\ \mathrm{cm}$，$BQ = x\ \mathrm{cm}$，由(1)可知 $AC = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
点P运动到点B所需时间为 $\frac{20}{2}=10\ \mathrm{s}$，此时点Q运动的路程为 $1 × 10 = 10\ \mathrm{cm}$，即点Q恰好运动到点C，两点随即停止运动，因此点Q运动过程中不会经过点C左侧。
分三种情况讨论：
① 当点C为PQ的中点时，$PC=QC$。
点P运动速度比点Q快，当点P在点C左侧时，$PC=10-2x$，$QC=10-x$，显然$10-2x＜10-x$，无法满足$PC=QC$；当点P在点C右侧时，点Q始终在点C右侧，点C不可能位于P、Q两点之间，因此点C不可能是PQ的中点。
② 当点P为CQ的中点时，$PC=PQ$。
此时点P、Q都在点C右侧，$PC = AP - AC = (2x - 10)\ \mathrm{cm}$，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - 2x - x = (20 - 3x)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2x - 10 = 20 - 3x$，
解得：$x=6$。
③ 当点Q为PC的中点时，$PC=2CQ$。
此时点Q在点C、P之间，$PC = AP - AC = (2x - 10)\ \mathrm{cm}$，$CQ = BC - BQ = (10 - x)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2x - 10 = 2(10 - x)$，
解得：$x=7.5$。
综上，满足条件的$x$的值为6和7.5，即运动时间为6 s或7.5 s时，C、P、Q三点中有一点恰为另外两点所连线段的中点。

【分析】
(1) 已知C是AB的中点，根据线段中点的定义，中点把线段分成两条长度相等的线段，因此AC的长度是AB的一半，直接代入AB的长度计算即可。
(2) 这是线段上的动点问题，首先用含运动时间x的代数式表示出AP、BQ的长度，先确定运动的总时长：点P速度更快，10s即可到达B点，此时点Q运动的路程为10cm，刚好到达C点，运动停止，因此点Q全程都在C点右侧。接下来分三种情况讨论：①若C为PQ的中点，分析P、Q的位置关系可知该情况不存在；②若P为CQ的中点，根据中点性质可得PC=PQ，分别用含x的式子表示PC、PQ的长度，列一元一次方程求解；③若Q为PC的中点，根据中点性质可得PC=2CQ，分别用含x的式子表示PC、CQ的长度，列方程求解，最后验证解在运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 因为C为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm}$。
(2) 存在满足条件的时刻。
依题意得 $AP = 2x\ \mathrm{cm}$，$BQ = x\ \mathrm{cm}$，由(1)可知 $AC = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
点P运动到点B所需时间为 $\frac{20}{2}=10\ \mathrm{s}$，此时点Q运动的路程为 $1 × 10 = 10\ \mathrm{cm}$，即点Q恰好运动到点C，两点随即停止运动，因此点Q运动过程中不会经过点C左侧。
分三种情况讨论：
① 当点C为PQ的中点时，$PC=QC$。
点P运动速度比点Q快，当点P在点C左侧时，$PC=10-2x$，$QC=10-x$，显然$10-2x＜10-x$，无法满足$PC=QC$；当点P在点C右侧时，点Q始终在点C右侧，点C不可能位于P、Q两点之间，因此点C不可能是PQ的中点。
② 当点P为CQ的中点时，$PC=PQ$。
此时点P、Q都在点C右侧，$PC = AP - AC = (2x - 10)\ \mathrm{cm}$，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - 2x - x = (20 - 3x)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2x - 10 = 20 - 3x$，
解得：$x=6$。
③ 当点Q为PC的中点时，$PC=2CQ$。
此时点Q在点C、P之间，$PC = AP - AC = (2x - 10)\ \mathrm{cm}$，$CQ = BC - BQ = (10 - x)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2x - 10 = 2(10 - x)$，
解得：$x=7.5$。
综上，满足条件的$x$的值为6和7.5，即运动时间为6 s或7.5 s时，C、P、Q三点中有一点恰为另外两点所连线段的中点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；
(2) 存在，满足条件的$x$的值为$\boldsymbol{6}$和$\boldsymbol{7.5}$（或运动时间为$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{7.5\ \mathrm{s}}$）。
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、一元一次方程应用
【点评】
本题是线段动点类的典型习题，解题关键是将动点的运动路程转化为含时间的代数式，结合分类讨论思想，根据线段中点的性质建立方程求解；解题时可先确定运动的时间范围，提前排除不可能的情况，简化计算，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6