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数学活动1：在同一个坐标系中画出两个反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 和 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象。
答案
解：
按照列表、描点、连线的步骤绘制图象：
(1) 列表：
取x的若干非零实数，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
| $y=\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $-0.5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $\dots$ |
(2) 描点：
在同一平面直角坐标系中，以上述表格里每组$(x,y)$为坐标，描出所有对应点。
(3) 连线：
分别用平滑的曲线，按x从小到大的顺序，将两个函数各自对应的点依次连接，得到两个函数的图象：二者都是位于第一、三象限的双曲线，其中$y=\dfrac{4}{x}$的双曲线更远离坐标轴。
按照列表、描点、连线的步骤绘制图象：
(1) 列表：
取x的若干非零实数，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
| $y=\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $-0.5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $\dots$ |
(2) 描点：
在同一平面直角坐标系中，以上述表格里每组$(x,y)$为坐标，描出所有对应点。
(3) 连线：
分别用平滑的曲线，按x从小到大的顺序，将两个函数各自对应的点依次连接，得到两个函数的图象：二者都是位于第一、三象限的双曲线，其中$y=\dfrac{4}{x}$的双曲线更远离坐标轴。
解析
【分析】
绘制函数图象的通用步骤为列表、描点、连线。针对本题的两个反比例函数，首先明确反比例函数自变量x的取值范围是x≠0，因此选取x值时优先取正负对称的非零值，既便于计算对应函数值，也能同时画出两个象限的图象；列表完成后在同一坐标系内分别描出两个函数的对应点，最后用平滑曲线按x从小到大的顺序分别连接同一函数的点，注意反比例函数图象是分属两个象限的双曲线，不能与坐标轴相交，也不能跨象限连接点。
【解析】
按照列表、描点、连线的步骤绘制图象：
(1) 列表：
取x的若干非零实数，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
| $y=\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $-0.5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $\dots$ |
(2) 描点：
在同一平面直角坐标系中，以上述表格里每组$(x,y)$为坐标，描出所有对应点。
(3) 连线：
分别用平滑的曲线，按x从小到大的顺序，将两个函数各自对应的点依次连接。
【答案】
两个函数的图象都是位于第一、三象限的双曲线，其中$y=\dfrac{4}{x}$的双曲线更远离坐标轴。
【知识点】
1. 函数图象绘制方法
2. 反比例函数图象特征
3. 反比例函数自变量取值范围
【点评】
本题属于反比例函数基础作图题，重点考查函数图象绘制的基本方法，通过绘制两个不同k值的反比例函数图象，可直观体会k的大小对反比例函数图象与坐标轴距离的影响，作图时需注意x不取0，连线使用平滑曲线，不可跨象限连接点，也不可与坐标轴相交。
【难度系数】
0.8
绘制函数图象的通用步骤为列表、描点、连线。针对本题的两个反比例函数，首先明确反比例函数自变量x的取值范围是x≠0，因此选取x值时优先取正负对称的非零值，既便于计算对应函数值，也能同时画出两个象限的图象；列表完成后在同一坐标系内分别描出两个函数的对应点，最后用平滑曲线按x从小到大的顺序分别连接同一函数的点，注意反比例函数图象是分属两个象限的双曲线，不能与坐标轴相交，也不能跨象限连接点。
【解析】
按照列表、描点、连线的步骤绘制图象：
(1) 列表：
取x的若干非零实数，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
| $y=\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $-0.5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $\dots$ |
(2) 描点：
在同一平面直角坐标系中，以上述表格里每组$(x,y)$为坐标，描出所有对应点。
(3) 连线：
分别用平滑的曲线，按x从小到大的顺序，将两个函数各自对应的点依次连接。
【答案】
两个函数的图象都是位于第一、三象限的双曲线，其中$y=\dfrac{4}{x}$的双曲线更远离坐标轴。
【知识点】
1. 函数图象绘制方法
2. 反比例函数图象特征
3. 反比例函数自变量取值范围
【点评】
本题属于反比例函数基础作图题，重点考查函数图象绘制的基本方法，通过绘制两个不同k值的反比例函数图象，可直观体会k的大小对反比例函数图象与坐标轴距离的影响，作图时需注意x不取0，连线使用平滑曲线，不可跨象限连接点，也不可与坐标轴相交。
【难度系数】
0.8
探究1：观察两个函数图象所在的象限，在每一个象限内，y随x是怎样变化的？
答案
两个函数的图象均位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
解析
【分析】
首先明确本题考查k＞0时反比例函数的图象与性质，解题思路如下：第一步先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分布和k的对应关系：当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、第三象限；第二步分析增减性，可通过在同一象限内取两组不同的x值，计算对应y值比较大小，就能得出y随x的变化规律，注意增减性的描述必须限定在同一象限内，跨象限不适用该规律。
【解析】
题中研究的两个函数均为比例系数$k＞0$的反比例函数：
1. 图象分布：根据反比例函数性质，当$k＞0$时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；
2. 增减性：在每一个象限内，任取$x_1＜x_2$，代入函数计算可得$y_1＞y_2$，因此y随x的增大而减小。
【答案】
两个函数的图象均位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【知识点】
1. 反比例函数的图象分布
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础性质考查题，重点需注意反比例函数增减性的适用前提是“在每一个象限内”，不能省略该限定直接描述y随x的变化规律，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查k＞0时反比例函数的图象与性质，解题思路如下：第一步先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分布和k的对应关系：当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、第三象限；第二步分析增减性，可通过在同一象限内取两组不同的x值，计算对应y值比较大小，就能得出y随x的变化规律，注意增减性的描述必须限定在同一象限内，跨象限不适用该规律。
【解析】
题中研究的两个函数均为比例系数$k＞0$的反比例函数：
1. 图象分布：根据反比例函数性质，当$k＞0$时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；
2. 增减性：在每一个象限内，任取$x_1＜x_2$，代入函数计算可得$y_1＞y_2$，因此y随x的增大而减小。
【答案】
两个函数的图象均位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【知识点】
1. 反比例函数的图象分布
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础性质考查题，重点需注意反比例函数增减性的适用前提是“在每一个象限内”，不能省略该限定直接描述y随x的变化规律，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.8
探究2：试着在图象中画出$k＝6$时函数的图象，观察这几个图象，它们有哪些共同特征？
猜想$k＞0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象特点。
猜想$k＞0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象特点。
答案
图略. 当$k＞0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需掌握描点法画函数图象的基本步骤，结合反比例函数自变量x≠0的取值限制，分别在x＞0和x＜0的范围内取值、描点、连线，得到k=6时的反比例函数图象；再将该图象与其他k为正数的反比例函数图象对比，先观察图象所在的象限，再分析同一象限内y随x的变化规律，归纳时注意不能跨象限讨论增减性，避免出现逻辑错误。
【解析】
1. 绘制$k=6$时函数$y=\frac{6}{x}$的图象，采用描点法操作：
①列表：自变量x取不为0的正负数值，参考取值如下：
| x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
②描点：将上表中对应的坐标点，在平面直角坐标系中逐一描出；
③连线：用平滑的曲线分别连接第一象限内的各点、第三象限内的各点，注意图象会无限接近x轴、y轴，但永远不会与坐标轴相交。
2. 观察归纳k＞0时反比例函数的图象特点：
对比多个$k＞0$的反比例函数图象，可总结共同特征：①图象都有两个分支，分别位于第一、第三象限；②在第一象限中，x增大时y的值逐渐减小，在第三象限中，x增大时y的值也逐渐减小，即在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【答案】
图略. 当$k＞0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
【知识点】
描点法画函数图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础题型，主要考察图象绘制能力和通过图象归纳性质的能力，解题的易错点是容易忽略增减性的适用前提，需牢记不能笼统表述为“y随x的增大而减小”，必须限定“在每一个象限内”。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需掌握描点法画函数图象的基本步骤，结合反比例函数自变量x≠0的取值限制，分别在x＞0和x＜0的范围内取值、描点、连线，得到k=6时的反比例函数图象；再将该图象与其他k为正数的反比例函数图象对比，先观察图象所在的象限，再分析同一象限内y随x的变化规律，归纳时注意不能跨象限讨论增减性，避免出现逻辑错误。
【解析】
1. 绘制$k=6$时函数$y=\frac{6}{x}$的图象，采用描点法操作：
①列表：自变量x取不为0的正负数值，参考取值如下：
| x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
②描点：将上表中对应的坐标点，在平面直角坐标系中逐一描出；
③连线：用平滑的曲线分别连接第一象限内的各点、第三象限内的各点，注意图象会无限接近x轴、y轴，但永远不会与坐标轴相交。
2. 观察归纳k＞0时反比例函数的图象特点：
对比多个$k＞0$的反比例函数图象，可总结共同特征：①图象都有两个分支，分别位于第一、第三象限；②在第一象限中，x增大时y的值逐渐减小，在第三象限中，x增大时y的值也逐渐减小，即在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【答案】
图略. 当$k＞0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
【知识点】
描点法画函数图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础题型，主要考察图象绘制能力和通过图象归纳性质的能力，解题的易错点是容易忽略增减性的适用前提，需牢记不能笼统表述为“y随x的增大而减小”，必须限定“在每一个象限内”。
【难度系数】
0.75
数学活动2：在同一个坐标系中画出两个反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
答案
解：
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
解析
【分析】
绘制函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤，结合反比例函数的特点可梳理解题思路：首先反比例函数自变量取值范围为$x≠0$，因此列表时要选取非零、正负对称的$x$值，可同时计算两个函数对应的$y$值提高效率；描点时要在同一坐标系内准确定位所有坐标点；连线时注意$k＜0$的反比例函数图象是位于第二、四象限的双曲线，两个分支相互独立不相连，需用平滑曲线顺次连接同一象限内的点，不能画成折线，也不能与坐标轴相交。
【解析】
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
【答案】
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数的图象特征
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查描点法的操作步骤和反比例函数的图象性质。作图时需注意自变量$x$不能取0，连线需使用平滑曲线，第二、四象限的两个分支相互独立不能连接，熟记反比例函数中$k$的符号与图象所在象限的对应关系可提高作图的准确性。
【难度系数】
0.8
绘制函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤，结合反比例函数的特点可梳理解题思路：首先反比例函数自变量取值范围为$x≠0$，因此列表时要选取非零、正负对称的$x$值，可同时计算两个函数对应的$y$值提高效率；描点时要在同一坐标系内准确定位所有坐标点；连线时注意$k＜0$的反比例函数图象是位于第二、四象限的双曲线，两个分支相互独立不相连，需用平滑曲线顺次连接同一象限内的点，不能画成折线，也不能与坐标轴相交。
【解析】
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
【答案】
采用描点法绘制图象，步骤如下：
1. 列表：选取非零的自变量x的若干值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | $\dots$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，以上述表格里的各组$(x,y)$为坐标，描出所有对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线，顺次连接第二象限内的各点、第四象限内的各点，得到两条位于第二、四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数的图象特征
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查描点法的操作步骤和反比例函数的图象性质。作图时需注意自变量$x$不能取0，连线需使用平滑曲线，第二、四象限的两个分支相互独立不能连接，熟记反比例函数中$k$的符号与图象所在象限的对应关系可提高作图的准确性。
【难度系数】
0.8
探究1：观察两个函数图象所在的象限，以及在每一个象限内 y 随 x 是怎样变化的. 猜想当 $k＜0$ 时，函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象特点.
答案
当$k＜0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
解析
【分析】
我们可以采用从特殊到一般的探究思路：先选取一个小于0的具体k值（如k=-1、k=-2），画出对应反比例函数的图象，先观察图象分布的象限，再分别在每个象限内选取多组递增的x值，计算对应的y值，对比x增大时y的变化趋势，最后将特殊案例的规律推广到所有k＜0的反比例函数中，总结共性特点。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象为双曲线：
1. 象限分布判断：当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负数，说明x和y符号相反：若$x＞0$则$y＜0$，对应图象落在第四象限；若$x＜0$则$y＞0$，对应图象落在第二象限，因此图象整体位于第二、第四象限。
2. 增减性判断：以$k=-2$为例验证，在第二象限取$x_1=-2$、$x_2=-1$（满足$x_1＜x_2＜0$），对应$y_1=1$、$y_2=2$，可得x增大时y也增大；在第四象限取$x_3=1$、$x_4=2$（满足$0＜x_3＜x_4$），对应$y_3=-2$、$y_4=-1$，同样x增大时y增大。因此在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
当$k＜0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【知识点】
反比例函数的图象，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础题，核心考查k的取值对反比例函数图象位置、增减性的影响，要特别注意描述增减性时必须加上“在每一个象限内”的限定，避免跨象限判断增减性的错误。
【难度系数】
0.8
我们可以采用从特殊到一般的探究思路：先选取一个小于0的具体k值（如k=-1、k=-2），画出对应反比例函数的图象，先观察图象分布的象限，再分别在每个象限内选取多组递增的x值，计算对应的y值，对比x增大时y的变化趋势，最后将特殊案例的规律推广到所有k＜0的反比例函数中，总结共性特点。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象为双曲线：
1. 象限分布判断：当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负数，说明x和y符号相反：若$x＞0$则$y＜0$，对应图象落在第四象限；若$x＜0$则$y＞0$，对应图象落在第二象限，因此图象整体位于第二、第四象限。
2. 增减性判断：以$k=-2$为例验证，在第二象限取$x_1=-2$、$x_2=-1$（满足$x_1＜x_2＜0$），对应$y_1=1$、$y_2=2$，可得x增大时y也增大；在第四象限取$x_3=1$、$x_4=2$（满足$0＜x_3＜x_4$），对应$y_3=-2$、$y_4=-1$，同样x增大时y增大。因此在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
当$k＜0$时，函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【知识点】
反比例函数的图象，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础题，核心考查k的取值对反比例函数图象位置、增减性的影响，要特别注意描述增减性时必须加上“在每一个象限内”的限定，避免跨象限判断增减性的错误。
【难度系数】
0.8
探究2：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是轴对称图形吗？
答案
是轴对称图形.
解析
【分析】
要判断反比例函数的图象是不是轴对称图形，首先需要回忆轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们只需找到满足条件的直线，验证反比例函数图象上任意一点关于这条直线的对称点是否也在图象上即可，可尝试反比例函数图象常见的候选对称轴：直线$y=x$和直线$y=-x$。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：若一个图形沿某一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形是轴对称图形。
任取反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点$P(a,\frac{k}{a})$（$a≠0$）：
1. 求点$P$关于直线$y=x$的对称点$P_1$：关于$y=x$对称的点横、纵坐标互换，因此$P_1$的坐标为$(\frac{k}{a},a)$。
将$x=\frac{k}{a}$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{\frac{k}{a}}=a$，因此$P_1$也在反比例函数的图象上。
2. 求点$P$关于直线$y=-x$的对称点$P_2$：关于$y=-x$对称的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数且互换，因此$P_2$的坐标为$(-\frac{k}{a},-a)$。
将$x=-\frac{k}{a}$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{-\frac{k}{a}}=-a$，因此$P_2$也在反比例函数的图象上。
综上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象沿直线$y=x$或$y=-x$折叠时，直线两旁的部分都能完全重合。
【答案】
是轴对称图形.
【知识点】
轴对称图形的判定；反比例函数的图象性质
【点评】
本题考查轴对称图形的判定和反比例函数的图象特征，通过验证任意点的对称点是否在图象上是解决这类函数图象对称性问题的常用思路，注意反比例函数共有两条对称轴，不要漏记。
【难度系数】
0.7
要判断反比例函数的图象是不是轴对称图形，首先需要回忆轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们只需找到满足条件的直线，验证反比例函数图象上任意一点关于这条直线的对称点是否也在图象上即可，可尝试反比例函数图象常见的候选对称轴：直线$y=x$和直线$y=-x$。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：若一个图形沿某一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形是轴对称图形。
任取反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点$P(a,\frac{k}{a})$（$a≠0$）：
1. 求点$P$关于直线$y=x$的对称点$P_1$：关于$y=x$对称的点横、纵坐标互换，因此$P_1$的坐标为$(\frac{k}{a},a)$。
将$x=\frac{k}{a}$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{\frac{k}{a}}=a$，因此$P_1$也在反比例函数的图象上。
2. 求点$P$关于直线$y=-x$的对称点$P_2$：关于$y=-x$对称的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数且互换，因此$P_2$的坐标为$(-\frac{k}{a},-a)$。
将$x=-\frac{k}{a}$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{-\frac{k}{a}}=-a$，因此$P_2$也在反比例函数的图象上。
综上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象沿直线$y=x$或$y=-x$折叠时，直线两旁的部分都能完全重合。
【答案】
是轴对称图形.
【知识点】
轴对称图形的判定；反比例函数的图象性质
【点评】
本题考查轴对称图形的判定和反比例函数的图象特征，通过验证任意点的对称点是否在图象上是解决这类函数图象对称性问题的常用思路，注意反比例函数共有两条对称轴，不要漏记。
【难度系数】
0.7
1. 对于反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$，下列说法正确的是（
A.图象经过点$(2, -3)$
B.图象位于第一、第三象限
C.$y$随$x$的增大而增大
D.当$0＜x＜1$时，$y＜-5$
D
）A.图象经过点$(2, -3)$
B.图象位于第一、第三象限
C.$y$随$x$的增大而增大
D.当$0＜x＜1$时，$y＜-5$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题思路为逐一验证每个选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数，核对计算出的纵坐标是否与点的纵坐标一致；②根据k的正负判断图象所在象限；③判断增减性时需注意前提是“在每个象限内”；④给定x的取值范围时，代入函数推导y的取值范围即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将$x=2$代入$y=-\dfrac{5}{x}$，得$y=-\dfrac{5}{2}=-2.5≠-3$，因此点$(2,-3)$不在函数图象上，A错误；
B. 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，$k=-5＜0$，因此图象位于第二、第四象限，B错误；
C. 当$k＜0$时，反比例函数仅在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，跨象限时不满足该规律，例如$x=-1$时$y=5$，$x=1$时$y=-5$，$x$增大但$y$减小，故C错误；
D. 当$0＜x＜1$时，$x$为正数，此时$\dfrac{1}{x}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\dfrac{5}{x}＜-5$，即$y＜-5$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，易错点是忽略增减性的适用前提（同一象限内），熟练掌握k值对反比例函数图象和性质的影响是解题关键。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象与性质，解题思路为逐一验证每个选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数，核对计算出的纵坐标是否与点的纵坐标一致；②根据k的正负判断图象所在象限；③判断增减性时需注意前提是“在每个象限内”；④给定x的取值范围时，代入函数推导y的取值范围即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将$x=2$代入$y=-\dfrac{5}{x}$，得$y=-\dfrac{5}{2}=-2.5≠-3$，因此点$(2,-3)$不在函数图象上，A错误；
B. 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，$k=-5＜0$，因此图象位于第二、第四象限，B错误；
C. 当$k＜0$时，反比例函数仅在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，跨象限时不满足该规律，例如$x=-1$时$y=5$，$x=1$时$y=-5$，$x$增大但$y$减小，故C错误；
D. 当$0＜x＜1$时，$x$为正数，此时$\dfrac{1}{x}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\dfrac{5}{x}＜-5$，即$y＜-5$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，易错点是忽略增减性的适用前提（同一象限内），熟练掌握k值对反比例函数图象和性质的影响是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 已知反比例函数$y=\frac{2-a}{x}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$a$的值可以是
1(答案不唯一)
。答案
2. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），当$k＞0$时，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，说明比例系数大于0，据此列出关于$a$的不等式，解出$a$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据反比例函数的性质：
对于$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），若每个象限内$y$随$x$增大而减小，则$k＞0$。
本题中函数为$y=\frac{2-a}{x}$，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，因此：
$2-a＞0$
解得$a＜2$
取小于2的任意实数都符合要求，例如$a=1$。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是根据函数的增减性判断出比例系数的符号，进而求出参数的取值范围，本题限定了$x＜0$的取值范围，规避了跨象限讨论的难点。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），当$k＞0$时，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，说明比例系数大于0，据此列出关于$a$的不等式，解出$a$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据反比例函数的性质：
对于$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），若每个象限内$y$随$x$增大而减小，则$k＞0$。
本题中函数为$y=\frac{2-a}{x}$，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，因此：
$2-a＞0$
解得$a＜2$
取小于2的任意实数都符合要求，例如$a=1$。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是根据函数的增减性判断出比例系数的符号，进而求出参数的取值范围，本题限定了$x＜0$的取值范围，规避了跨象限讨论的难点。
【难度系数】
0.8
请根据本课所学，构建知识体系.
反比例函数的图象和性质
形状：
位置：
当k＞0时：
性质：
当k＞0时：
当k＜0时：
反比例函数的图象和性质
形状：
位置：
当k＞0时：
性质：
当k＞0时：
当k＜0时：
答案
形状：双曲线
当k＞0时：图象位于第一、第三象限
当k＜0时：图象位于第二、第四象限
当k＞0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大
当k＞0时：图象位于第一、第三象限
当k＜0时：图象位于第二、第四象限
当k＞0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大
解析
【分析】
本题考查反比例函数图象与性质的基础识记，解题时可按照知识框架的三个模块依次推导对应结论：首先回忆反比例函数的图象形状特征；再根据k的正负判断x、y的符号关系，确定图象所在象限；最后结合图象的变化趋势总结增减性，注意增减性的适用前提是“在每一个象限内”，不能跨象限判断单调性。
【解析】
1. 形状：反比例函数的图象是两条关于原点对称的曲线，统称为双曲线；
2. 位置判断：
当k＞0时，x与y同号，对应点的横纵坐标均为正或均为负，因此图象位于第一、第三象限；
当k＜0时，x与y异号，对应点的横纵坐标一正一负，因此图象位于第二、第四象限；
3. 性质（增减性）判断：
当k＞0时，观察第一、三象限的图象走势，可得在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，观察第二、四象限的图象走势，可得在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
形状：双曲线
当k＞0时：图象位于第一、第三象限
当k＜0时：图象位于第二、第四象限
当k＞0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大
【知识点】
1. 反比例函数图象特征
2. 反比例函数象限分布
3. 反比例函数增减性
【点评】
本题属于基础概念类习题，是反比例函数相关题型的知识基础，需要重点区分k的正负对应的图象位置和增减性，尤其注意增减性的表述必须限定“在每一个象限内”，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数图象与性质的基础识记，解题时可按照知识框架的三个模块依次推导对应结论：首先回忆反比例函数的图象形状特征；再根据k的正负判断x、y的符号关系，确定图象所在象限；最后结合图象的变化趋势总结增减性，注意增减性的适用前提是“在每一个象限内”，不能跨象限判断单调性。
【解析】
1. 形状：反比例函数的图象是两条关于原点对称的曲线，统称为双曲线；
2. 位置判断：
当k＞0时，x与y同号，对应点的横纵坐标均为正或均为负，因此图象位于第一、第三象限；
当k＜0时，x与y异号，对应点的横纵坐标一正一负，因此图象位于第二、第四象限；
3. 性质（增减性）判断：
当k＞0时，观察第一、三象限的图象走势，可得在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，观察第二、四象限的图象走势，可得在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
形状：双曲线
当k＞0时：图象位于第一、第三象限
当k＜0时：图象位于第二、第四象限
当k＞0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大
【知识点】
1. 反比例函数图象特征
2. 反比例函数象限分布
3. 反比例函数增减性
【点评】
本题属于基础概念类习题，是反比例函数相关题型的知识基础，需要重点区分k的正负对应的图象位置和增减性，尤其注意增减性的表述必须限定“在每一个象限内”，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.85
