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7. 如图，把下列各图形中左上角的图案绕点O依次旋转$90°$，$180°$，$270°$，分别画出旋转后得到的图案。
答案
7. 解 如图所示.
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆旋转作图的相关知识，旋转作图需要先明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题中旋转中心是固定的点O，旋转角度分别为90°、180°、270°，旋转前后图形的形状、大小都不发生改变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。所以解题时先找出左上角阴影图案的所有关键点，再依据旋转的性质依次画出这些关键点旋转后的对应点，最后按照原图案的形状顺次连接对应点，就能得到每次旋转后的图案，组合后就是最终要求的图形。
【解析】
1. 明确旋转三要素：旋转中心为点O，按顺时针（或逆时针，最终图形一致）方向旋转，旋转角度依次为90°、180°、270°。
2. 定位原左上角阴影图案的各个关键顶点，对于曲线图形（如半圆）可额外选取1~2个弧上的参考点，方便后续作图。
3. 将每个关键点绕点O旋转90°，根据旋转性质，对应点到O的距离与原关键点到O的距离相等，且两点与O的连线夹角为90°，得到所有关键点旋转90°后的对应点，顺次连接对应点，得到旋转90°后的图案。
4. 用同样的方法，分别将原图案的关键点旋转180°、270°，得到对应点后连线，得到另外两个旋转后的图案。
5. 将三次旋转得到的图案与原左上角图案组合，即得到最终的完整图形。
【答案】
【知识点】
旋转的性质，旋转作图，旋转三要素
【点评】
本题是旋转作图的基础题，重点考察对旋转性质的理解和动手作图能力，只要准确把握旋转前后对应点的特征，就能顺利画出正确图形，是巩固旋转相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先回忆旋转作图的相关知识，旋转作图需要先明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题中旋转中心是固定的点O，旋转角度分别为90°、180°、270°，旋转前后图形的形状、大小都不发生改变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。所以解题时先找出左上角阴影图案的所有关键点，再依据旋转的性质依次画出这些关键点旋转后的对应点，最后按照原图案的形状顺次连接对应点，就能得到每次旋转后的图案，组合后就是最终要求的图形。
【解析】
1. 明确旋转三要素：旋转中心为点O，按顺时针（或逆时针，最终图形一致）方向旋转，旋转角度依次为90°、180°、270°。
2. 定位原左上角阴影图案的各个关键顶点，对于曲线图形（如半圆）可额外选取1~2个弧上的参考点，方便后续作图。
3. 将每个关键点绕点O旋转90°，根据旋转性质，对应点到O的距离与原关键点到O的距离相等，且两点与O的连线夹角为90°，得到所有关键点旋转90°后的对应点，顺次连接对应点，得到旋转90°后的图案。
4. 用同样的方法，分别将原图案的关键点旋转180°、270°，得到对应点后连线，得到另外两个旋转后的图案。
5. 将三次旋转得到的图案与原左上角图案组合，即得到最终的完整图形。
【答案】
【知识点】
旋转的性质，旋转作图，旋转三要素
【点评】
本题是旋转作图的基础题，重点考察对旋转性质的理解和动手作图能力，只要准确把握旋转前后对应点的特征，就能顺利画出正确图形，是巩固旋转相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，请将图中的梯形ABCD绕点C顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的图形。
答案
8. 解 如图，梯形 EFCB 即为所求.
解析
【分析】
要完成梯形绕点C的顺时针90°旋转作图，首先需明确旋转的三要素：旋转中心为点C、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°。根据旋转的性质，旋转前后图形的形状、大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，因此我们只需先找到梯形ABCD四个顶点旋转后的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。找对应点时，利用格点的特点，将各顶点与点C的连线绕C顺时针旋转90°，保持连线长度不变，就能快速确定对应点的位置。
【解析】
1. 明确旋转三要素：旋转中心为点C，顺时针旋转90°，旋转对象是梯形ABCD；
2. 确定各顶点的对应点：
① 点C是旋转中心，旋转后对应点为其本身；
② 线段CB竖直方向长度为4格，将其绕点C顺时针旋转90°后变为水平向右，长度仍为4格，得到点B的对应点F；
③ 线段CD水平向左长度为4格，将其绕点C顺时针旋转90°后变为竖直向上，长度仍为4格，得到点D的对应点恰好是点B；
④ 同理，将点A与点C的连线绕C顺时针旋转90°，保持长度不变，得到点A的对应点E；
3. 顺次连接E、F、C、B四个点，所得梯形即为旋转后的图形。
【答案】
如图，梯形EFCB即为所求。
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 旋转作图
3. 旋转三要素
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，重点考查对旋转相关概念和性质的应用能力，熟练掌握格点中90°旋转的位置变化规律，明确旋转前后对应点的关系，就能轻松完成作图。
【难度系数】
0.8
要完成梯形绕点C的顺时针90°旋转作图，首先需明确旋转的三要素：旋转中心为点C、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°。根据旋转的性质，旋转前后图形的形状、大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，因此我们只需先找到梯形ABCD四个顶点旋转后的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。找对应点时，利用格点的特点，将各顶点与点C的连线绕C顺时针旋转90°，保持连线长度不变，就能快速确定对应点的位置。
【解析】
1. 明确旋转三要素：旋转中心为点C，顺时针旋转90°，旋转对象是梯形ABCD；
2. 确定各顶点的对应点：
① 点C是旋转中心，旋转后对应点为其本身；
② 线段CB竖直方向长度为4格，将其绕点C顺时针旋转90°后变为水平向右，长度仍为4格，得到点B的对应点F；
③ 线段CD水平向左长度为4格，将其绕点C顺时针旋转90°后变为竖直向上，长度仍为4格，得到点D的对应点恰好是点B；
④ 同理，将点A与点C的连线绕C顺时针旋转90°，保持长度不变，得到点A的对应点E；
3. 顺次连接E、F、C、B四个点，所得梯形即为旋转后的图形。
【答案】
如图，梯形EFCB即为所求。
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 旋转作图
3. 旋转三要素
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，重点考查对旋转相关概念和性质的应用能力，熟练掌握格点中90°旋转的位置变化规律，明确旋转前后对应点的关系，就能轻松完成作图。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 110°$，将$△ ABC$绕点C逆时针旋转得到$△ DEC$，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD，当点A，D，E在同一条直线上时，$∠ BAD$的大小是（
A.$60°$
B.$70°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）A.$60°$
B.$70°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，即$AC=DC$，$∠ CDE=∠ BAC=110°$；再结合点A、D、E共线的条件，求出$∠ ADC$的度数；接着根据等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ CAD$的度数；最后用$∠ BAC$减去$∠ CAD$即可得到$∠ BAD$的大小。
【解析】
由旋转的性质可知：$AC=DC$，$∠ CDE = ∠ BAC = 110°$。
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴$∠ ADC + ∠ CDE = 180°$，
解得$∠ ADC = 180° - 110° = 70°$。
∵$AC=DC$，
∴$△ ACD$为等腰三角形，
∴$∠ CAD = ∠ ADC = 70°$，
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 110° - 70° = 40°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是抓住旋转前后边、角的对应相等关系，结合共线条件和等腰三角形的性质逐步推导角度，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，即$AC=DC$，$∠ CDE=∠ BAC=110°$；再结合点A、D、E共线的条件，求出$∠ ADC$的度数；接着根据等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ CAD$的度数；最后用$∠ BAC$减去$∠ CAD$即可得到$∠ BAD$的大小。
【解析】
由旋转的性质可知：$AC=DC$，$∠ CDE = ∠ BAC = 110°$。
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴$∠ ADC + ∠ CDE = 180°$，
解得$∠ ADC = 180° - 110° = 70°$。
∵$AC=DC$，
∴$△ ACD$为等腰三角形，
∴$∠ CAD = ∠ ADC = 70°$，
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 110° - 70° = 40°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是抓住旋转前后边、角的对应相等关系，结合共线条件和等腰三角形的性质逐步推导角度，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$，点$A$，$D$，$E$在同一条直线上。给出下面五个结论：① $AC = AD$；② $AB = DE$；③ $∠ BAC = ∠ DCE$；④ $△ ACE$与四边形$ABCD$面积相等；⑤ $AB ⊥ AE$。在上述结论中，正确的有________（填序号）。
答案
10.②④⑤
解析
【分析】
解题的核心依据是旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角均相等。首先由旋转得到△ABC≌△EDC，∠ACE=∠BCD=90°，AC=EC，再逐个验证5个结论：
1. 验证①：AC与CD无必然相等关系，故AC≠AD，①错误；
2. 验证②：全等三角形对应边相等，直接可得AB=DE，②正确；
3. 验证③：全等对应角得∠BAC=∠DEC，∠DCE=∠ACB，二者无必然相等关系，③错误；
4. 验证④：△ABC和△EDC面积相等，两边同时加公共部分△ACD的面积，可得△ACE与四边形ABCD面积相等，④正确；
5. 验证⑤：由△ACE是等腰直角三角形得∠CAE=45°，结合全等性质推导得∠BAC=45°，故∠BAE=90°，即AB⊥AE，⑤正确。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴△ABC≌△EDC，∠ACE=∠BCD=90°，AC=EC，
∴AB=DE，∠BAC=∠DEC，∠ACB=∠DCE，$S_{△ ABC}=S_{△ EDC}$，故结论②正确；
对于结论①：AC=EC，CD=BC，AC与BC无必然相等关系，故AC≠CD，△ACD中∠ACD与∠ADC不一定相等，故AC≠AD，①错误；
对于结论③：∠BAC=∠DEC，∠DCE=∠ACB，∠DEC与∠ACB无必然相等关系，故∠BAC不一定等于∠DCE，③错误；
对于结论④：
∵$S_{△ ABC}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = S_{△ EDC} + S_{△ ACD}$，
即$S_{四边形ABCD} = S_{△ ACE}$，故④正确；
对于结论⑤：
∵AC=EC，∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠CAE=∠CEA=45°，
∵∠CDE=∠B，且∠CDE是△ACD的外角，
∴∠CDE=∠ACD + ∠CAE = (90°-∠ACB) + 45° = 135°-∠ACB，
又
∵∠ACB=180°-∠B-∠BAC，代入上式化简得∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC + ∠CAE=45°+45°=90°，即AB⊥AE，故⑤正确。
综上，正确的结论是②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查旋转性质的应用，解题的关键是抓住旋转前后图形全等的特征，结合三角形内角和、外角性质等逐一推导验证结论，注意公共面积的转化技巧。
【难度系数】
0.65
解题的核心依据是旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角均相等。首先由旋转得到△ABC≌△EDC，∠ACE=∠BCD=90°，AC=EC，再逐个验证5个结论：
1. 验证①：AC与CD无必然相等关系，故AC≠AD，①错误；
2. 验证②：全等三角形对应边相等，直接可得AB=DE，②正确；
3. 验证③：全等对应角得∠BAC=∠DEC，∠DCE=∠ACB，二者无必然相等关系，③错误；
4. 验证④：△ABC和△EDC面积相等，两边同时加公共部分△ACD的面积，可得△ACE与四边形ABCD面积相等，④正确；
5. 验证⑤：由△ACE是等腰直角三角形得∠CAE=45°，结合全等性质推导得∠BAC=45°，故∠BAE=90°，即AB⊥AE，⑤正确。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴△ABC≌△EDC，∠ACE=∠BCD=90°，AC=EC，
∴AB=DE，∠BAC=∠DEC，∠ACB=∠DCE，$S_{△ ABC}=S_{△ EDC}$，故结论②正确；
对于结论①：AC=EC，CD=BC，AC与BC无必然相等关系，故AC≠CD，△ACD中∠ACD与∠ADC不一定相等，故AC≠AD，①错误；
对于结论③：∠BAC=∠DEC，∠DCE=∠ACB，∠DEC与∠ACB无必然相等关系，故∠BAC不一定等于∠DCE，③错误；
对于结论④：
∵$S_{△ ABC}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = S_{△ EDC} + S_{△ ACD}$，
即$S_{四边形ABCD} = S_{△ ACE}$，故④正确；
对于结论⑤：
∵AC=EC，∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠CAE=∠CEA=45°，
∵∠CDE=∠B，且∠CDE是△ACD的外角，
∴∠CDE=∠ACD + ∠CAE = (90°-∠ACB) + 45° = 135°-∠ACB，
又
∵∠ACB=180°-∠B-∠BAC，代入上式化简得∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC + ∠CAE=45°+45°=90°，即AB⊥AE，故⑤正确。
综上，正确的结论是②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查旋转性质的应用，解题的关键是抓住旋转前后图形全等的特征，结合三角形内角和、外角性质等逐一推导验证结论，注意公共面积的转化技巧。
【难度系数】
0.65
11. 如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合.
（1）旋转中心是
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）若∠BFC = 90°，试说明AE//BF.
（1）旋转中心是
点B
，旋转角度最小为90
°；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）若∠BFC = 90°，试说明AE//BF.
答案
11. 解 （1）点B 90
（2）$△ BEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以$∠ ABC=90°$. 因为$△ BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转后能与 $△ BEA$ 重合，所以 $BE = BF$，$∠ EBF=∠ ABC=90°$. 所以$△ BEF$ 是等腰直角三角形.
（3）因为$△ BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转后能与$△ BEA$ 重合，所以$∠ BEA=∠ BFC=90°$，$∠ ABE = ∠ CBF$. 因为 $∠ EBF = ∠ EBA + ∠ ABF = ∠ CBF + ∠ ABF = ∠ ABC=90°$，所以$∠ BEA + ∠ EBF = 180°$.
所以 $AE// BF$.
（2）$△ BEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以$∠ ABC=90°$. 因为$△ BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转后能与 $△ BEA$ 重合，所以 $BE = BF$，$∠ EBF=∠ ABC=90°$. 所以$△ BEF$ 是等腰直角三角形.
（3）因为$△ BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转后能与$△ BEA$ 重合，所以$∠ BEA=∠ BFC=90°$，$∠ ABE = ∠ CBF$. 因为 $∠ EBF = ∠ EBA + ∠ ABF = ∠ CBF + ∠ ABF = ∠ ABC=90°$，所以$∠ BEA + ∠ EBF = 180°$.
所以 $AE// BF$.
解析
【分析】
（1）确定旋转中心需找旋转过程中保持固定不动的点，△BFC和△BEA的公共顶点为B，因此旋转中心是点B；旋转角是一组对应边的夹角，正方形中边BC旋转到对应边BA的最小夹角为90°，故最小旋转角度为90°。
（2）判断△BEF的形状可结合旋转的性质分析：旋转前后对应边相等，因此BE=BF，同时旋转角∠EBF和正方形内角∠ABC相等，为90°，满足两边相等且夹角为直角的三角形是等腰直角三角形。
（3）要证明AE//BF，可通过证明同旁内角互补实现：由旋转性质得对应角∠BEA=∠BFC=90°，再推导得∠EBF=90°，两个角之和为180°，即可判定两直线平行。
【解析】
（1）旋转过程中点B保持固定，因此旋转中心是点B；正方形ABCD中∠ABC=90°，边BC逆时针旋转到BA的最小夹角为90°，因此旋转角度最小为90°。
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°
∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合
∴BE = BF，∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF是等腰直角三角形。
（3）
∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合
∴∠BEA=∠BFC=90°，∠ABE = ∠CBF
∴∠EBF = ∠EBA + ∠ABF = ∠CBF + ∠ABF = ∠ABC=90°
∴∠BEA + ∠EBF = 90°+90°=180°
∴AE//BF（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）点B；90
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由见解析
（3）AE//BF，理由见解析
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是图形旋转的基础典型题，解题核心是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等的性质，结合正方形特征和平行线判定规则即可顺利求解，对巩固旋转基础概念有较好的作用。
【难度系数】
0.8
（1）确定旋转中心需找旋转过程中保持固定不动的点，△BFC和△BEA的公共顶点为B，因此旋转中心是点B；旋转角是一组对应边的夹角，正方形中边BC旋转到对应边BA的最小夹角为90°，故最小旋转角度为90°。
（2）判断△BEF的形状可结合旋转的性质分析：旋转前后对应边相等，因此BE=BF，同时旋转角∠EBF和正方形内角∠ABC相等，为90°，满足两边相等且夹角为直角的三角形是等腰直角三角形。
（3）要证明AE//BF，可通过证明同旁内角互补实现：由旋转性质得对应角∠BEA=∠BFC=90°，再推导得∠EBF=90°，两个角之和为180°，即可判定两直线平行。
【解析】
（1）旋转过程中点B保持固定，因此旋转中心是点B；正方形ABCD中∠ABC=90°，边BC逆时针旋转到BA的最小夹角为90°，因此旋转角度最小为90°。
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°
∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合
∴BE = BF，∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF是等腰直角三角形。
（3）
∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合
∴∠BEA=∠BFC=90°，∠ABE = ∠CBF
∴∠EBF = ∠EBA + ∠ABF = ∠CBF + ∠ABF = ∠ABC=90°
∴∠BEA + ∠EBF = 90°+90°=180°
∴AE//BF（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）点B；90
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由见解析
（3）AE//BF，理由见解析
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是图形旋转的基础典型题，解题核心是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等的性质，结合正方形特征和平行线判定规则即可顺利求解，对巩固旋转基础概念有较好的作用。
【难度系数】
0.8
