2. 如图，A为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的一点，$AB ⊥ x$轴，$AC ⊥ y$轴，垂足分别为B，C。若四边形OCAB的面积为2，则k的值为（）

A.2
B.-2
C.4
D.-4

2. B

【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。接下来先根据函数图象所在的象限判断k的正负性，再结合已知的矩形面积求出|k|的数值，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，$AC⊥y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形OCAB是矩形。
由图象可知反比例函数图象位于第四象限，当$x＞0$时$y＜0$，
∴矩形OCAB的面积$=OB×AB = x·|y| = x·(-y) = -xy = 2$，
将$xy=k$代入上式得：$-k=2$，解得$k=-2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，易错点是忽略函数图象所在象限，漏考虑k的符号从而误选正值选项。
【难度系数】
0.7

3. 如图,正比例函数$y=-2x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象相交于A,B两点,过点A作$AC⊥x$轴于点C,连接BC,若$△ ABC$的面积为3,则k的值为 ()

A.$-\frac{3}{2}$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-6$

3. C

【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的图象性质，可知两函数的交点A、B关于原点中心对称，因此A、B到x轴的距离相等，可得△AOC和△BOC同底等高、面积相等，△ABC的面积是△AOC面积的2倍。再结合反比例函数k的几何意义，即过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入已知面积求出|k|，最后根据反比例函数所在象限确定k的符号即可。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=-2x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象均关于原点中心对称
∴ 交点A、B关于原点对称，点B到x轴的距离等于点A到x轴的长度（即AC的长度）
∵ $AC⊥ x$轴，$△ AOC$和$△ BOC$同底为OC，高相等
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2S_{△ AOC}=3$
解得 $S_{△ AOC}=\frac{3}{2}$
根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|$
代入得 $\frac{1}{2}|k|=\frac{3}{2}$，解得$|k|=3$
又
∵ 反比例函数图象位于第二、四象限，
∴ $k＜0$
因此$k=-3$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；中心对称的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中k值求解的常见题型，解题核心是利用函数图象的对称性将所求三角形面积转化为和k相关的直角三角形面积，解题时需注意结合函数图象所在象限判断k的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

4. 如图，A是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任意一点，$AB// x$轴交反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象于点B，以AB为边作$□ ABCD$，其中C，D在x轴上，则$□ ABCD$的面积为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

4. D

【分析】
要计算平行四边形ABCD的面积，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，可将AB作为底，AB到x轴的距离作为高求解。首先由AB//x轴可知A、B两点纵坐标相等，我们可以设出这个纵坐标为参数，分别代入两个反比例函数表达式求出A、B的横坐标，横坐标的差就是AB的长度，AB到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，二者相乘即可得到面积，计算过程中参数会抵消，直接得到定值。
【解析】
设点A的纵坐标为$ h $（$ h＞0 $）：
1. 把$ y=h $代入$ y=\frac{2}{x} $，得$ x=\frac{2}{h} $，即点A的坐标为$ (\frac{2}{h},h) $；
2. 因为$ AB// x $轴，所以点B的纵坐标也为$ h $，把$ y=h $代入$ y=-\frac{3}{x} $，得$ x=-\frac{3}{h} $，即点B的坐标为$ (-\frac{3}{h},h) $；
3. 计算AB的长度：$ AB=\frac{2}{h}-(-\frac{3}{h})=\frac{5}{h} $；
4. 平行四边形ABCD中，AB边上的高为A、B到x轴的距离，即$ h $，因此面积$ S=AB× h=\frac{5}{h}× h=5 $。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的面积；坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题的核心是利用AB平行x轴的特点得出两点纵坐标相等，通过设参数的方法表示线段长度，计算时参数可直接抵消，无需求出参数的具体数值，能很好地考查对反比例函数性质和几何图形面积公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$△ ABC$的顶点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上，顶点$B(-1,n)$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象上，顶点C在x轴上，$AB// x$轴. 若$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$，则m,n的值分别为.

5. $m=6,n=3$

【分析】
解题时先从已知点B在反比例函数图象上入手，代入坐标可先求出n的值；再根据$AB// x$轴的性质，得到点A与点B纵坐标相等，进而用含m的式子表示出点A的横坐标，求出AB的长度；最后结合三角形ABC的面积公式，利用AB为底、点B纵坐标绝对值为高列方程，即可求出m的值。
【解析】
1. 求n的值：
∵点$B(-1,n)$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象上，
∴将$x=-1$代入解析式得：$n=-\frac{3}{-1}=3$，即$n=3$。
2. 求AB的长度：
∵$AB// x$轴，点B纵坐标为3，
∴点A的纵坐标也为3。
∵点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上，
∴令$y=3$，得$x=\frac{m}{3}$，即点A坐标为$(\frac{m}{3},3)$。
∴AB的长度为点A横坐标减去点B横坐标：$\frac{m}{3}-(-1)=\frac{m}{3}+1$。
3. 利用三角形面积求m：
∵点C在x轴上，$AB// x$轴，
∴△ABC中AB边上的高等于AB到x轴的距离，即高为3。
已知$S_{△ABC}=\frac{9}{2}$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×(\frac{m}{3}+1)×3=\frac{9}{2}$
化简左边得：$\frac{1}{2}(m+3)=\frac{9}{2}$
两边同乘2得：$m+3=9$，解得$m=6$。
【答案】
$m=6,n=3$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征 2.平行线的性质 3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题的突破口是利用AB平行x轴的特点得到A、B两点纵坐标相等，再结合函数图象上点的坐标满足函数解析式、三角形面积公式逐步计算即可，属于反比例函数的常规考法。
【难度系数】
0.7

6. 如图,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象经过$□ ABCO$的顶点$A,OC$在$x$轴上.若点$B(-1,3)$,$S_{□ ABCO}=3$,则$k$的值为.

6. $-6$

【分析】
要求反比例函数中k的值，需要先得到反比例函数图象上点A的坐标。首先利用平行四边形的面积公式：平行四边形面积=底×高，本题中以OC为底时，高等于点B的纵坐标（因为OC在x轴上，AB//OC，两点纵坐标相同，竖直方向的距离即为高），先通过已知面积和高算出底OC的长度；再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB的长度与OC相等，结合点B的坐标即可求出点A的坐标；最后将点A坐标代入反比例函数解析式计算即可得到k的值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCO是平行四边形，OC在x轴上，点B坐标为$(-1,3)$
∴ 平行四边形ABCO的高等于点B的纵坐标，即$h=3$，且$AB// OC$，$AB=OC$
又
∵ $S_{□ ABCO} = OC × h = 3$
∴ $OC = 3 ÷ 3 = 1$，即$AB=1$
∵ $AB// x$轴，点A纵坐标与点B相同为3，点A在点B左侧，横坐标为$-1-1=-2$
∴ 点A坐标为$(-2, 3)$
将$A(-2,3)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$得：
$3 = \dfrac{k}{-2}$
解得$k = -2 × 3 = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数中求k值的典型题型，将平行四边形的性质和反比例函数图象性质结合考查，解题的关键是通过平行四边形的面积和已知点坐标求出反比例函数上对应点的坐标，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7

7. 如图,直线 $ l ⊥ x $ 轴于点 $ P $,且与反比例函数 $ y_1=\frac{12}{x}(x＞0) $ 及 $ y_2=\frac{4}{x}(x＞0) $ 的图象分别交于点 $ A,B $,连接 $ OA,OB $,则 $ △ OAB $ 的面积为 .

7. 4

【分析】
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与坐标原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知$△ OAB$的面积等于$△ OAP$的面积减去$△ OBP$的面积，因此我们可以先根据k的几何意义分别求出两个小直角三角形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线$l ⊥ x$轴于点$P$，点$A$在反比例函数$y_1=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上
∴$S_{△ OAP}=\frac{1}{2} × |k_1|=\frac{1}{2} × 12=6$
∵点$B$在反比例函数$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上
∴$S_{△ OBP}=\frac{1}{2} × |k_2|=\frac{1}{2} × 4=2$
∴$S_{△ OAB}=S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=6-2=4$
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，将所求三角形面积转化为两个同底直角三角形的面积差是解题的突破口，熟练掌握该知识点可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8

8. 如图,点A在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,点B在双曲线$y=\frac{12}{x}$上,且$AB// x$轴,过A,B两点分别作x轴的垂线交x轴于点D,C,则四边形ABCD的面积为.

8. 8

【分析】
解题时先观察图形特征：由AB//x轴，AD⊥x轴、BC⊥x轴，可判断四边形ABCD是矩形，面积=底×高（即DC的长度×AD的长度）。我们可以借助反比例函数的性质求解：方法1：设点A的纵坐标为h，根据反比例函数解析式分别表示出A、B的横坐标，进而得到DC的长度，代入面积公式计算即可；方法2：利用反比例函数k的几何意义，过双曲线上一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|，两个矩形的面积差就是四边形ABCD的面积，计算更简便。
【解析】
方法一：设点A的纵坐标为$h$，
∵点A在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，
∴点A的横坐标为$\frac{4}{h}$，
∵AB//x轴，
∴点B的纵坐标也为$h$，
又
∵点B在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，
∴点B的横坐标为$\frac{12}{h}$，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴$AD=BC=h$，$DC=\frac{12}{h}-\frac{4}{h}=\frac{8}{h}$，
∴矩形ABCD的面积=$DC×AD=\frac{8}{h}×h=8$。
方法二：根据反比例函数$k$的几何意义：
过双曲线$y=\frac{12}{x}$上的点B向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积为$|12|=12$，
过双曲线$y=\frac{4}{x}$上的点A向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积为$|4|=4$，
∵AB//x轴，两个矩形的高相等，
∴四边形ABCD的面积=12-4=8。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，运用数形结合思想可跳过坐标计算直接快速得到结果，降低计算量，平时学习要注意对反比例函数相关性质的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7