1. (1)如图，圆内接正五边形的中心角∠AOB=，∠ACB=；
(2)如图，圆内接正六边形的中心角∠AOB=，∠ACB=；
变式训练
求中心角→求边长→求边心距
(1)若正六边形的外接圆的半径为4，则它的边长为。
(2)边长为2的正六边形的边心距为。

1.(1)72° 36° (2)60° 30° 【变式训练】(1)4 (2)$\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先明确正多边形中心角的通用计算公式：正n边形的中心角=360°÷n，可直接求出∠AOB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。变式训练利用正六边形的特殊性质：正六边形的边长与外接圆半径相等，求边长时可直接得出；求边心距时，可构造由边心距、半条边长、外接圆半径组成的直角三角形，结合勾股定理计算即可。
【解析】
1.(1)正五边形的边数n=5，因此中心角$∠ AOB=\frac{360°}{5}=72°$；
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
(2)正六边形的边数n=6，因此中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$；
同理，同弧AB所对的圆周角$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
变式训练
(1)正六边形的外接圆半径与边长相等，已知外接圆半径为4，因此它的边长为4。
(2)边长为2的正六边形，外接圆半径等于边长为2，边长的一半为1，边心距、半条边长、外接圆半径构成直角三角形，由勾股定理得：边心距$=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
1.(1)$72°$ $36°$ (2)$60°$ $30°$
【变式训练】(1)$4$ (2)$\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形中心角计算；圆周角定理；正六边形的性质
【点评】
本题围绕正多边形与圆的核心性质设置题目，属于基础巩固类习题，解题关键是牢记正n边形中心角的计算方法，以及正六边形边长与外接圆半径相等的特殊结论，结合已学的圆周角定理、勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法正确的是（）

A.等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为$1:\sqrt{2}$
B.正方形的内切圆与外接圆半径之比为$1:2$
C.正六边形的内切圆与外接圆半径之比为$\sqrt{3}:2$
D.以上说法都不正确

2.C

【分析】
要判断各选项的正误，需明确正多边形的内切圆半径即边心距，外接圆半径是正多边形中心到顶点的距离，我们可设外接圆半径为R，结合正多边形的中心角构造直角三角形，分别计算各正多边形的边心距r，再求出r与R的比值，逐一比对选项即可。
【解析】
设各正多边形的外接圆半径均为R，内切圆半径（边心距）为r：
1. 分析A选项：等边三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，半中心角为$60°$，由三角函数得$r=R\cos60°=\frac{1}{2}R$，故$r:R=1:2$，A错误。
2. 分析B选项：正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，半中心角为$45°$，由三角函数得$r=R\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，故$r:R=\sqrt{2}:2=1:\sqrt{2}$，B错误。
3. 分析C选项：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，半中心角为$30°$，由三角函数得$r=R\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，故$r:R=\sqrt{3}:2$，C正确。
因此D选项“以上说法都不正确”错误。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；特殊角的三角函数值；边心距与外接圆半径
【点评】
本题核心是考查正多边形内切圆、外接圆半径的关系，解题的关键是通过半中心角构造直角三角形，结合三角函数或勾股定理计算比值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7

3. 如图,正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O,连接OC,则∠ACO+∠ABE= ()

A.90°
B.100°
C.110°
D.120°

3.D

【分析】
解题时需分别求出∠ACO和∠ABE的度数，再求和即可。首先利用正多边形内接于圆的性质，计算各段弧对应的度数：正六边形每段弧对应度数为360°÷6=60°，正三角形每段弧对应度数为360°÷3=120°。先求∠ACO：结合半径相等得△AOC为等腰三角形，利用弧AC的度数得到圆心角∠AOC的度数，即可计算底角∠ACO。再求∠ABE：根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先求出∠ABE所对弧的度数，即可得到∠ABE的度数，最后将两个角相加得到结果。
【解析】
1. 正六边形ADBECF内接于⊙O，因此正六边形每条边所对的弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$；正三角形ABC内接于⊙O，因此正三角形每条边所对的弧的度数为$\frac{360°}{3}=120°$，即弧AC的度数为120°，故圆心角∠AOC=120°。
2.
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，△AOC为等腰三角形，因此$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. ∠ABE是⊙O的圆周角，其所对的弧为弧AE，弧AE的度数为$60°×3=180°$，根据圆周角定理可得$∠ ABE=\frac{1}{2}×180°=90°$。
4. 因此$∠ ACO+∠ ABE=30°+90°=120°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形弧度数、中心角的计算规则，以及圆周角定理的应用，通过分步计算两个角的度数即可得到最终结果。
【难度系数】
0.7

4.如图,正六边形 ABCDEF 的顶点 A,F 分别在正方形 BMGH 的边 BH,GH 上.若正方形的边长为 6,则正六边形的边长为.

4.4

【分析】
首先回忆正六边形的内角特点，结合正方形的内角为90°，可推导出△AHF是含30°角的特殊直角三角形。我们设正六边形的边长为x，利用特殊直角三角形的边长关系表示出相关线段长度，再根据正方形边长为6的条件列方程即可求解。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为$x$，则$BA=AF=x$。
正六边形的每个内角度数为：$\dfrac{(6-2)×180°}{6}=120°$，因此$∠ BAF=120°$，可得$∠ HAF=180°-120°=60°$。
∵四边形BMGH是正方形，
∴$∠ H=90°$，$BH=6$。
在$Rt△ AHF$中，$∠ AFH=90°-60°=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$AH=\dfrac{1}{2}AF=\dfrac{1}{2}x$。
又
∵$BH=BA+AH=6$，代入得：
$x+\dfrac{1}{2}x=6$
解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
正多边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题将正多边形和正方形的性质结合考查，解题关键是找到特殊直角三角形的边长关系，结合线段和的条件列方程求解，难度适中，能很好地检验几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

5. [2024·芜湖期末]如图,正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$,且$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$,则正八边形ABCDEFGH的面积为 ()

A.8
B.$8\sqrt{2}$
C.$16\sqrt{2}$
D.16

5.C

【分析】
要计算正八边形的面积，我们可以采用分割转化的思路：正八边形内接于圆，可将其分割为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于外接圆半径，顶角为正八边形的中心角。先算出中心角度数，再求出单个等腰三角形的面积，最后乘8即可得到正八边形的总面积。
【解析】
连接OA、OB，过点B作BM⊥OA于点M。
1. 求中心角：正八边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{8}=45°$；
2. 求三角形的高：在$Rt△ OBM$中，$OB=2\sqrt{2}$，$∠ BOM=45°$，因此高$BM=OB·\sin45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$；
3. 计算单个三角形面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× BM=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$；
4. 计算正八边形总面积：正八边形由8个全等的$△ AOB$组成，因此总面积$S=8×2\sqrt{2}=16\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于正多边形面积计算的基础题型，核心是利用分割法将正多边形面积转化为多个全等三角形的面积之和，体现了转化的数学思想，解题需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法，以及特殊角三角函数的应用。
【难度系数】
0.7

6.如图，正方形ABCD和等边$△ AEF$均内接于$\odot O$，则$\frac{AB}{AE}=$.

6.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

【分析】
本题中正方形和等边三角形共外接圆$\odot O$，我们可以设$\odot O$的半径为中间量$R$，分别利用正多边形的外接圆性质，结合勾股定理或三角函数表示出正方形边长$AB$和等边三角形边长$AE$，最后计算二者的比值即可。首先明确正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，由圆心和正多边形相邻两顶点构成的等腰三角形是推导边长的基础。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$：
1. 求正方形边长$AB$：
连接$OA$、$OB$，正方形$ABCD$内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°$。
在等腰$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=OB=R$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
2. 求等边$△ AEF$的边长$AE$：
连接$OE$，等边$△ AEF$内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOE=\frac{360°}{3}=120°$。
过点$O$作$OG⊥ AE$于点$G$，根据等腰三角形三线合一，$AG=GE$，$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOE=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，$AG=OA·\sin60°=R×\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$AE=2AG=\sqrt{3}R$。
3. 计算比值：
$\frac{AB}{AE}=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}R}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型计算题，解题关键是抓住两个正多边形共外接圆的特点，将半径作为中间量分别表示对应边长，再求比值，方法通用性强，掌握正多边形中心角计算和边长推导方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.7

7. [教材P53习题24.6第8题改编]如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,AD,CE,CE交AD于点F.
(1)∠CAD的度数为;
(2)已知AB=2,求DF的长.

7.(1)36°
(2)易知四边形 ABCF 是菱形,
∴CF=AF=AB=2.
∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°,
同理可得∠DCE=36°,
∴△DCF∽△DAC,
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{AD}{DC}$,即$CD^2=DF·AD$.
设$DF=x$,则$AD=x+2$,
∴$2^2=x(x+2)$,即$x^2+2x-4=0$,
解得$x=\sqrt{5}-1$(负值舍去),
∴DF 的长是$\sqrt{5}-1$.

【分析】
(1) 求∠CAD的度数，首先利用正多边形内角和公式算出正五边形的每个内角度数，再结合正五边形各边相等的性质，得到△ABC、△AED都是等腰三角形，求出底角∠BAC、∠DAE的度数，最后用∠BAE减去这两个底角即可得到∠CAD的度数。
(2) 求DF的长，首先根据角的等量关系证明AB//CE、BC//AD，得到四边形ABCF是平行四边形，再结合邻边相等证明它是菱形，得到AF=AB=2；再通过角的等量关系证明△DCF∽△DAC，利用相似三角形对应边成比例得到线段乘积关系，设DF为x，用含x的式子表示AD，代入关系式列方程求解，舍去负根即可得到DF的长度。
【解析】
(1) 正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ BAE=∠ B=108°$，且$AB=BC=AE=DE$。
在等腰$△ ABC$中，$∠ B=108°$，因此$∠ BAC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ DAE=36°$。
因此$∠ CAD=∠ BAE-∠ BAC-∠ DAE=108°-36°-36°=36°$。
(2) 由(1)得$∠ ACB=36°$，$∠ CAD=36°$，因此$∠ ACB=∠ CAD$，可得$BC// AD$；
同理可得$∠ BAC=∠ ACE=36°$，因此$AB// CE$，所以四边形ABCF是平行四边形。
又$AB=BC$，因此平行四边形ABCF是菱形，故$CF=AF=AB=2$。
在$△ DCF$和$△ DAC$中：
$∠ CDF=∠ ADC$（公共角），$∠ DCF=∠ CAD=36°$，因此$△ DCF∽△ DAC$。
由相似三角形的性质得$\frac{CD}{DF}=\frac{AD}{CD}$，即$CD^2=DF· AD$。
设$DF=x$，则$AD=AF+DF=x+2$，且$CD=AB=2$，代入得：
$2^2=x(x+2)$，整理得$x^2+2x-4=0$，
解得$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
因为线段长度为正数，故舍去负根，得$x=\sqrt{5}-1$，即$DF=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) $\boxed{36°}$
(2) $\boxed{\sqrt{5}-1}$
【知识点】
正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是正多边形性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握正五边形的内角、边的特征，结合等腰三角形、菱形、相似三角形的性质建立线段的等量关系，通过方程思想求解未知线段长度，是正多边形计算类的典型题型。
【难度系数】
0.6