1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，点 $E$ 在 $CD$ 上，把 $△ ADE$ 沿 $AE$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处，则 $\cos∠ CEF$ 的值为。

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，则$AD=BC=8$，$CD=AB=6$。折叠后$AF=AD=8$，$∠ AFE=∠ D=90°$。在$Rt△ ABF$中，$AB=6$，$AF=8$，由勾股定理得$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，则$CF=BC-BF=8-2\sqrt{7}$。
因为$∠ AFE=90°$，所以$∠ AFB+∠ EFC=90°$。在$Rt△ ABF$中，$∠ AFB+∠ BAF=90°$，故$∠ BAF=∠ EFC$。设$∠ CEF=α$，在$Rt△ EFC$中，$∠ EFC=90°-α$，则$∠ BAF=90°-α$，所以$∠ AFB=α$。
在$Rt△ ABF$中，$\sinα=\frac{AB}{AF}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。由$\sin^2α+\cos^2α=1$，得$\cosα=\sqrt{1-(\frac{3}{4})^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，即$\cos∠ CEF=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

2. 如图，在正方形纸片 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 的中点，将正方形纸片沿 $CE$ 折叠，点 $B$ 落在点 $P$ 处，延长 $CP$ 交 $AD$ 于点 $Q$，则 $\sin∠ AEP$ 的值为。

2√5/5

设正方形边长为2a，E为AB中点，则AE=EB=a。折叠后，EP=EB=a，CP=CB=2a，∠EPC=90°。设DQ=x，AQ=2a-x，PQ=AQ=2a-x（Rt△AEQ≌Rt△PEQ）。在Rt△CDQ中，CQ=CP+PQ=2a+(2a-x)=4a-x，由勾股定理得(4a-x)²=(2a)²+x²，解得x=3a/2，故AQ=PQ=a/2。
建立坐标系，A(0,0)，E(a,0)，C(2a,2a)，CE方程为y=2x-2a。设P(m,n)，由EP=a和CP=2a得方程组：(m-a)²+n²=a²，(m-2a)²+(n-2a)²=4a²，结合n=2m-2a，解得P(a(5+√5)/5,2a√5/5)。
向量EA=(-a,0)，EP=(a√5/5,2a√5/5)，cos∠AEP=(EA·EP)/(|EA||EP|)=-√5/5，故sin∠AEP=√(1-(√5/5)²)=2√5/5。

3. 如图，在 $\odot O$ 的内接 $△ ABC$ 中，$BD⊥ AC$ 于点 $D$。若 $AB = 2$，$\tan∠ CBD=\frac{3}{4}$，则 $\odot O$ 的半径为。

5/4

连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠ABE=90°（直径所对圆周角为直角）。设∠CBD=α，在Rt△BDC中，tanα=CD/BD=3/4，设CD=3k，BD=4k，由勾股定理得BC=5k，故sin∠BCD=BD/BC=4/5。∵∠ACB=∠BCD，∠AEB=∠ACB（同弧所对圆周角相等），∴sin∠AEB=sin∠ACB=4/5。在Rt△ABE中，sin∠AEB=AB/AE，AB=2，AE=2R，∴4/5=2/(2R)，解得R=5/4。

4. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC = BC = 3\sqrt{2}$，$∠ ACB = 90^{\circ}$，点 $M$，$N$ 在边 $AB$ 上。若 $\tan∠ BCN=\frac{\sqrt{2}}{3}$，且 $∠ MCN = 45^{\circ}$，则 $AM$ 的长为。

3 - √2

在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，∠ACB=90°，则AB=6，∠A=∠B=45°。以AB为x轴，其中点O为原点建立坐标系，A(-3,0)，B(3,0)，C(0,3)。设N(n,0)，由tan∠BCN=√2/3，利用直线斜率及夹角公式得(3-n)/(n+3)=√2/3，解得n=(33-18√2)/7。设M(m,0)，∠MCN=45°，由直线CM、CN夹角公式得|(k₂ - k₃)/(1 + k₂k₃)|=1，解得m=-√2。则AM=(-√2)-(-3)=3-√2。

5. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，$A$，$B$，$C$，$D$ 都在格点处，$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $P$，则 $\cos∠ APC$ 的值为。

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

设每个小正方形边长为1，建立坐标系。设A(3,0)，B(-1,2)，C(1,-1)，D(-2,3)。
直线AB斜率：$k_{AB}=\frac{2-0}{-1-3}=-\frac{1}{2}$，方程：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
直线CD斜率：$k_{CD}=\frac{3-(-1)}{-2-1}=-\frac{4}{3}$，方程：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$。
联立得交点P$(-\frac{7}{5},\frac{11}{5})$。
向量$\overrightarrow{PA}=(3+\frac{7}{5},0-\frac{11}{5})=(\frac{22}{5},-\frac{11}{5})$，方向向量$(2,-1)$；
向量$\overrightarrow{PC}=(1+\frac{7}{5},-1-\frac{11}{5})=(\frac{12}{5},-\frac{16}{5})$，方向向量$(3,-4)$。
$\cos∠ APC=\frac{(2)(3)+(-1)(-4)}{\sqrt{2^2+(-1)^2}·\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{6+4}{\sqrt{5}·5}=\frac{10}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。