1. 【问题背景】(1) 如图, 点 $ B $, $ C $, $ D $ 在同一直线上, $ ∠ B = ∠ ACE = ∠ D $. 求证: $ △ ABC ∼ △ CDE $;
【问题探究】(2) 在(1) 的条件下, 若 $ C $ 为 $ BD $ 的中点, 求证: $ AC^{2} = AB · AE $.

(1)证明见解析；(2)证明见解析

(1)设∠B=∠ACE=∠D=α。在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-α-∠ACB。∵B,C,D共线，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，即∠ACB+α+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°-α-∠ACB，∴∠BAC=∠ECD。在△ABC和△CDE中，∠B=∠D，∠BAC=∠ECD，∴△ABC∽△CDE（AA）。
(2)∵C为BD中点，∴BC=CD。由(1)△ABC∽△CDE，得AB/CD=AC/CE，又CD=BC，∴AB/BC=AC/CE，即AB/AC=BC/CE。∵∠B=∠ACE，∴△ABC∽△ACE（SAS）。∴AB/AC=AC/AE，∴AC²=AB·AE。

2. 如图, 在 $ △ ABC $ 中, $ ∠ BAC = 120^{\circ} $, $ AB = AC $, 点 $ D $, $ E $ 分别在边 $ AC $, $ BC $ 上, 且 $ ∠ BDE = 120^{\circ} $.
(1) 求证: $ ∠ CDE = ∠ ABD $;
(2) 若 $ BE = 13\sqrt{3} $, $ CE = 2\sqrt{3} $, 求 $ AD $ 的长.

5

(1)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°。设∠ABD=α，则∠DBC=30°-α。在△BDE中，∠BDE=120°，∴∠BED=180°-120°-(30°-α)=30°+α。∵∠BED+∠CED=180°，∴∠CED=180°-(30°+α)=150°-α。在△CDE中，∠CDE=180°-∠ACB-∠CED=180°-30°-(150°-α)=α，∴∠CDE=∠ABD。
(2)∵AB=AC，∠BAC=120°，BC=BE+CE=15√3，过A作AF⊥BC于F，BF=BC/2=15√3/2，AB=BF/cos30°=15。设AD=x，则DC=15-x。由(1)知∠ABD=∠CDE=α，在△ABD中，tanα=DG/BG= (x√3/2)/(15+x/2)=x√3/(30+x)。在△CDE中，过D作DF⊥BC于F，CF=(15-x)√3/2，EF=CF-CE=(11-x)√3/2，DF=(15-x)/2，∠EDF=60°-α，tan(60°-α)=EF/DF=(11-x)√3/(15-x)。由tan(60°-α)=(√3-tanα)/(1+√3 tanα)，解得x=5或6，经检验AD=5。

3. 如图, $ ∠ BAC = ∠ ADB = 45^{\circ} $, $ CE // BD $ 交 $ AD $ 于点 $ E $, $ AE = 2 $, $ BD = 3 $, 求 $ \frac{AB}{AC} $ 的值.

3/2

延长CE交AB于点F，∵CE//BD，∴∠AEC=∠ADB=45°，∠AFE=∠ABD。
∵∠BAC=45°，设AC/AB=k，由CE//BD得△AEC∽△ADB（AA），∴AE/AD=AC/AB=CE/BD=k。
∵AE=2，BD=3，∴AD=AE/k=2/k，CE=3k。
又∵△AFE∽△ABD（CE//BD），∴AF/AB=AE/AD=k，即AF=k·AB=AC，故△AFC为等腰三角形，∠AFC=∠ACF。
∵∠AFC=∠ABD，∠ACF=∠ABD，在△ABD中，∠ADB=45°，∠BAD=180°-∠ABD-45°，∠ABD=∠AFC=(180°-45°)/2=67.5°，∴∠BAD=67.5°=∠ABD，故AD=BD=3。
∵AD=2/k=3，∴k=2/3，即AC/AB=2/3，∴AB/AC=3/2。