1. 若一次函数 $ y = ax + 6 $ 与反比例函数 $ y = \dfrac{3}{x} $ 的图象只有一个公共点 $ A $, 求点 $ A $ 的坐标, 并直接写出当 $ ax + 6 ＜ \dfrac{3}{x} $ 时, $ x $ 的取值范围.

点$A$的坐标为$(1, 3)$；$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 1$。

联立一次函数与反比例函数方程：$ax + 6 = \dfrac{3}{x}$，去分母得$ax^2 + 6x - 3 = 0$。
∵两函数图象只有一个公共点，∴该一元二次方程判别式$\Delta = 0$，即$6^2 - 4a(-3) = 0$，解得$a = -3$。
将$a = -3$代入方程得$-3x^2 + 6x - 3 = 0$，化简为$(x - 1)^2 = 0$，解得$x = 1$，代入$y = \dfrac{3}{x}$得$y = 3$，∴点$A(1, 3)$。
解不等式$-3x + 6 ＜ \dfrac{3}{x}$，移项通分得$\dfrac{-3(x - 1)^2}{x} ＜ 0$。∵$-3(x - 1)^2 ≤ 0$，∴当$x ＞ 0$且$x ≠ 1$时不等式成立，即$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 1$。

2. (2025 江汉区) 若反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象与直线 $ y = -x + 4 $ 在第一象限内至少有一个交点, 求 $ k $ 的取值范围.

$0 ＜ k ≤ 4$

联立反比例函数与直线方程：$\dfrac{k}{x} = -x + 4$，整理得$x^2 - 4x + k = 0$。要使两图象在第一象限至少有一个交点，需方程有正实根且$k ＞ 0$（反比例函数在第一象限有图象）。方程判别式$\Delta = 16 - 4k ≥ 0$，解得$k ≤ 4$。综上，$0 ＜ k ≤ 4$。

3. (2025 福州) 如图, 直线 $ y = -x + b $ 与 $ y $ 轴交于点 $ P $, 与双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(k ＜ 0) $ 交于 $ A $, $ B $ 两点, 且 $ PA · PB = 5 $. 求 $ k $ 的值.

$-\frac{5}{2}$

联立直线与双曲线方程：$\begin{cases} y=-x+b \\ y=\frac{k}{x} \end{cases}$，消去$y$得$-x+b=\frac{k}{x}$，整理得$x^2 - bx + k = 0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - bx + k = 0$的两根，由韦达定理得$x_1x_2 = k$。
点$P$为直线与$y$轴交点，坐标为$(0,b)$。$PA = \sqrt{x_1^2 + (y_1 - b)^2}$，因$y_1 = -x_1 + b$，则$y_1 - b = -x_1$，故$PA = \sqrt{x_1^2 + x_1^2} = \sqrt{2}|x_1|$，同理$PB = \sqrt{2}|x_2|$。
$PA · PB = 2|x_1x_2| = 2|k|$，已知$PA · PB = 5$，且$k ＜ 0$，则$2(-k) = 5$，解得$k = -\frac{5}{2}$。