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如图，D为△ABC的边AB上一点，AB=12，AC=15，AD=8，在AC边上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是
【点睛】易漏解，注意分类：(1)AD与AB对应；(2)AD与AC对应.
10或$\frac{32}{5}$
.【点睛】易漏解，注意分类：(1)AD与AB对应；(2)AD与AC对应.
答案
10或$\frac{32}{5}$
解析
∵∠A是公共角，要使△ADE∽△ABC，分两种情况：
（1）当AD与AB对应，AE与AC对应时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8}{12}=\frac{AE}{15}$，解得$AE=10$；
（2）当AD与AC对应，AE与AB对应时，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{8}{15}=\frac{AE}{12}$，解得$AE=\frac{32}{5}$。
综上，AE的长为10或$\frac{32}{5}$。
（1）当AD与AB对应，AE与AC对应时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8}{12}=\frac{AE}{15}$，解得$AE=10$；
（2）当AD与AC对应，AE与AB对应时，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{8}{15}=\frac{AE}{12}$，解得$AE=\frac{32}{5}$。
综上，AE的长为10或$\frac{32}{5}$。
1. (2025福建模拟)如图，在△EOF中，OE=4，OF=6，下列阴影部分的三角形与△EOF是否相似，说法正确的是(
A.只有甲相似
B.只有乙相似
C.甲，乙都不相似
D.甲，乙都相似
A
)A.只有甲相似
B.只有乙相似
C.甲，乙都不相似
D.甲，乙都相似
答案
A
解析
对于甲图，阴影三角形与△EOF有公共角∠O，且已知两边长分别为2和3。计算比例：2/4=1/2，3/6=1/2，即两组对应边成比例且夹角∠O相等，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，甲图阴影三角形与△EOF相似。
对于乙图，阴影三角形与△EOF有公共角∠O，已知两边长分别为1和4。计算比例：1/4=1/4，4/6=2/3，1/4≠2/3，两组对应边不成比例，故乙图阴影三角形与△EOF不相似。
对于乙图，阴影三角形与△EOF有公共角∠O，已知两边长分别为1和4。计算比例：1/4=1/4，4/6=2/3，1/4≠2/3，两组对应边不成比例，故乙图阴影三角形与△EOF不相似。
2. 如图，点D，E分别在AB，AC上，若AB=2AE，AC=2AD，DE=5，则BC的长为
10
.答案
10
解析
∵AB=2AE，AC=2AD，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$。∵DE=5，∴$\frac{5}{BC}=\frac{1}{2}$，解得BC=10。
3. (2025杭州)如图，已知OA·OC=12，OD=3，当OB=
4
时，△AOB∽△DOC.答案
4
解析
要使△AOB∽△DOC，需满足对应边成比例。已知∠AOB=∠DOC（对顶角相等），则需$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，即$OA·OC = OB·OD$。
由OA·OC=12，OD=3，得$12 = OB×3$，解得$OB=4$。
由OA·OC=12，OD=3，得$12 = OB×3$，解得$OB=4$。
4. 如图，D是△ABC的边AB上一点，AD=3，BD=2，当AC=
$\sqrt{15}$
时，△ACD∽△ABC.答案
$\sqrt{15}$
解析
要使 $ △ ACD ∽ △ ABC $，需要满足对应角相等且对应边成比例。
已知 $ AD = 3 $，$ BD = 2 $，则 $ AB = AD + BD = 5 $。
在 $ △ ACD $ 和 $ △ ABC $ 中，角 $ A $ 是公共角，所以 $ ∠ A = ∠ A $。
根据相似三角形的性质，有：
$ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} $，
代入已知条件 $ AD = 3 $，$ AB = 5 $：
$ \frac{3}{AC} = \frac{AC}{5} $，
交叉相乘得：
$ AC^2 = 15 $，
解得：
$ AC = \sqrt{15} $。
已知 $ AD = 3 $，$ BD = 2 $，则 $ AB = AD + BD = 5 $。
在 $ △ ACD $ 和 $ △ ABC $ 中，角 $ A $ 是公共角，所以 $ ∠ A = ∠ A $。
根据相似三角形的性质，有：
$ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} $，
代入已知条件 $ AD = 3 $，$ AB = 5 $：
$ \frac{3}{AC} = \frac{AC}{5} $，
交叉相乘得：
$ AC^2 = 15 $，
解得：
$ AC = \sqrt{15} $。
5. 如图，AD⊥BC于点D，BD=2CD，AE=ED，AB=2，则EC的长为
1
.答案
1
解析
设CD=x，则BD=2x。∵AE=ED，∴AD=2ED。∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠EDC=90°。在△ABD和△ECD中，BD/CD=2x/x=2，AD/ED=2ED/ED=2，∴BD/CD=AD/ED，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△ECD（两边成比例且夹角相等）。∴AB/EC=BD/CD=2。∵AB=2，∴2/EC=2，解得EC=1。
6. (2025湖北中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE.求证：△BCE∽△ACD.
答案
证明见解析
解析
∵△ABC绕点C旋转得到△DEC，∴CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE（旋转性质：对应边相等，旋转角相等）。∴AC/DC=1，BC/EC=1，即AC/BC=DC/EC。在△BCE和△ACD中，∠ACD=∠BCE，AC/BC=DC/EC，∴△BCE∽△ACD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
7. (2025广州模拟)如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，AC=4，AD=2，BD=6，求证：△ACD∽△ABC.
答案
△ACD∽△ABC
解析
∵AD=2，BD=6，∴AB=AD+BD=8.
∵AC=4，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
∵AC=4，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
