6.已知$y = (m - 2)x^{|m|} + 2$是$y$关于$x$的二次函数,那么$m$的值为.

$-2$

根据题意，函数$y = (m - 2)x^{|m|} + 2$是$y$关于$x$的二次函数，所以$x$的最高次数为$2$，且系数不为$0$。
因此有：
$|m| = 2$，以确保$x$的次数为$2$，
$m - 2 \neq 0$，以确保二次项系数不为$0$，
由$|m| = 2$，可以得到两个可能的$m = 2$ 或 $m = -2$。
但由$m - 2 \neq 0$，可以排除$m = 2$，所以只剩下$m = -2$。

7.已知关于$x$的函数$y = (m - 1)x^2 + 2x + m$图象与坐标轴只有2个交点,则$m =$.

0或1或$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

当函数为一次函数时，$m - 1 = 0$即$m = 1$，此时$y = 2x + 1$与坐标轴有2个交点；当函数为二次函数时，$m - 1 \neq 0$，若过原点则$m = 0$，此时$y = -x^2 + 2x$与坐标轴有2个交点；若与$x$轴只有一个交点则$\Delta = 4 - 4m(m - 1) = 0$，解得$m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。综上，$m = 0$或$1$或$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

8.已知关于$x$的方程$x^2 - 4x + t - 2 = 0$($t$为实数)的两个非负实数根为$a$,$b$,则$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$的最小值是.

$-15$

根据方程 $x^2 - 4x + t - 2 = 0$ 的两个非负实数根为 $a$, $b$，由韦达定理可得：
$a + b = 4$，$ab = t - 2$。
由于 $a$ 和 $b$ 是非负实数，所以 $ab \geq 0$，即 $t - 2 \geq 0$，从而得出 $t \geq 2$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式 $\Delta = 16 - 4(t - 2) \geq 0$，解得 $t \leq 6$。
综上，$t$ 的取值范围为 $2 \leq t \leq 6$。
现在，我们要求 $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ 的最小值。
首先，我们将 $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ 展开为 $a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$。
然后，我们利用 $a + b = 4$ 和 $ab = t - 2$ 进行替换和化简：
$(a^2 - 1)(b^2 - 1) = (t - 2)^2 - (a + b)^2 + 2ab + 1 = (t - 2)^2 - 16 + 2(t - 2) + 1 = (t - 2)^2 + 2(t - 2) - 15 = (t - 1)^2 - 16$，
由于 $2 \leq t \leq 6$，当 $t = 2$ 时，$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ 取得最小值 $(2 - 1)^2 - 16 = -15$。

9.二次函数$y = x^2 - 2x + 3$的图象绕其与$y$轴交点旋转$180°$,得到的二次函数解析式为.

$y=-x^2 - 2x + 3$

1. 求与y轴交点：令$x=0$，得$y=0^2 - 2×0 + 3=3$，交点为$(0,3)$。
2. 原函数化为顶点式：$y=(x - 1)^2 + 2$，顶点为$(1,2)$。
3. 顶点$(1,2)$绕$(0,3)$旋转$180°$，设对应点$(h,k)$，由中点公式$\frac{1 + h}{2}=0$，$\frac{2 + k}{2}=3$，解得$h=-1$，$k=4$，新顶点为$(-1,4)$。
4. 旋转后开口方向相反，二次项系数为$-1$，解析式为$y=-(x + 1)^2 + 4$，展开得$y=-x^2 - 2x + 3$。

10.如图,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB$的顶点$A$,$B$的坐标分别为$(4,0)$,$(4,n)$.若经过点$O$,$A$的抛物线$y = -x^2 + bx + c$的顶点$C$落在边$OB$上,则图中阴影部分图形的面积和为.

8

1. 抛物线过O(0,0)和A(4,0)，代入y=-x²+bx+c得c=0，b=4，解析式为y=-x²+4x。
2. 抛物线顶点C横坐标为x=-4/(2×(-1))=2，代入得y=4，顶点C(2,4)。
3. OB过O(0,0)和B(4,n)，解析式为y=(n/4)x，C(2,4)在OB上，得4=(n/4)×2，n=8，OB:y=2x。
4. 阴影面积为抛物线与OB、BC围成区域面积和。联立y=-x²+4x与y=2x，交点为O(0,0)和C(2,4)。
5. 左侧阴影：∫₀²[(-x²+4x)-2x]dx=∫₀²(-x²+2x)dx=4/3；右侧阴影：∫₂⁴[2x-(-x²+4x)]dx=∫₂⁴(x²-2x)dx=20/3。
6. 总面积=4/3+20/3=8。

11.(6分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y = ax^2 + bx + 2$过$B(-2,6)$,$C(2,2)$两点.
(1)试求抛物线的解析式；
(2)记抛物线与$y$轴的交点为$D$,求$\triangle BCD$的面积.

(1)$y = \frac{1}{2}x^2 - x + 2$；(2)$4$。

(1) 将点$B(-2,6)$，$C(2,2)$代入$y=ax^2+bx+2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b + 2 = 6 \\4a + 2b + 2 = 2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a - 2b = 4 \\4a + 2b = 0\end{cases}$
两式相加：$8a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$，代入$4a + 2b = 0$得$2 + 2b = 0 \Rightarrow b = -1$，
抛物线解析式为$y = \frac{1}{2}x^2 - x + 2$。
(2) 令$x=0$，得$y=2$，则$D(0,2)$。
$C(2,2)$，$D(0,2)$，$\therefore CD // x$轴，$CD=2-0=2$。
点$B(-2,6)$到$CD$的距离为$6 - 2 = 4$，
$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。