1.$2^{-3}$可以表示为().

A.$2^{2} ÷ 2^{5}$
B.$2^{5} ÷ 2^{2}$
C.$2^{2} × 2^{5}$
D.$(-2) × (-2) × (-2)$

A

根据负整数指数幂的定义，$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$。
选项A：$2^{2}÷2^{5}=\frac{2^{2}}{2^{5}}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$。
选项B：$2^{5}÷2^{2}=\frac{2^{5}}{2^{2}} = 8\neq\frac{1}{8}$。
选项C：$2^{2}×2^{5}=2^{2 + 5}=2^{7}=128\neq\frac{1}{8}$。
选项D：$(-2)×(-2)×(-2)=-8\neq\frac{1}{8}$。

2.下列运算正确的是().

A.$(2a^{2})^{3}=6a^{6}$
B.$-a^{2}b^{2} · 3ab^{3} =-3a^{2}b^{5} $
C.$\frac{a^{2}-1}{a} · \frac{1}{a+1} =-1$
D.$\frac{b}{a-b} + \frac{a}{b-a} =-1$

D

选项A：根据幂的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$以及$(a^m)^n = a^{mn}$，对$(2a^{2})^{3}$进行计算，可得$(2a^{2})^{3}=2^3×(a^{2})^{3}=8a^{6}\neq6a^{6}$，所以选项A错误。
选项B：根据单项式与单项式相乘的运算法则，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算$-a^{2}b^{2}·3ab^{3}$，可得$-a^{2}b^{2}·3ab^{3}=(-1×3)×(a^{2}· a)×(b^{2}· b^{3})=-3a^{3}b^{5}\neq -3a^{2}b^{5}$，所以选项B错误。
选项C：先对$a^2 - 1$利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，再根据分式乘法法则进行计算，$\frac{a^{2}-1}{a}·\frac{1}{a + 1}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a}·\frac{1}{a + 1}=\frac{a - 1}{a}\neq -1$，所以选项C错误。
选项D：先将$\frac{b}{a - b} + \frac{a}{b - a}$变形为$\frac{b}{a - b} - \frac{a}{a - b}$，再根据同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，进行计算，$\frac{b}{a - b} - \frac{a}{a - b}=\frac{b - a}{a - b}=\frac{-(a - b)}{a - b}=-1$，所以选项D正确。

3.化简$\frac{a^{2}+2ab+b^{2} }{a^{2}-b^{2} } - \frac{b}{a-b}$的结果是().

A.$\frac{a}{a-b}$
B.$\frac{b}{a-b}$
C.$\frac{a}{a+b}$
D.$\frac{b}{a+b}$

A

首先对原式进行因式分解，
$\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} - \frac{b}{a-b} = \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b}$，
约去公共因子：
$= \frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$，
接着，对两个分式进行合并：
$= \frac{a+b-b}{a-b} = \frac{a}{a-b}$。

4.计算$x^{3}y(x^{-1}y)^{-2}$的结果是().

A.$\frac{x^{5}}{y}$
B.$\frac{y}{x^{5}}$
C.$\frac{y^{5}}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{5}}{y^{2}}$

A

根据幂的运算法则，先将$(x^{-1}y)^{-2}$展开为$x^{2}y^{-2}$，则原式$x^{3}y(x^{-1}y)^{-2}=x^{3}y· x^{2}y^{-2}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{3}y· x^{2}y^{-2}=x^{3 + 2}y^{1+( - 2)}=x^{5}y^{-1}=\frac{x^{5}}{y}$。

5.如果$a+b=2$,那么代数式$(a- \frac{b^{2}}{a}) · \frac{a}{a-b}$的值是().

A.2
B.-2
C.$\frac{1}{2}$
D.-$\frac{1}{2}$

A

已知$a+b=2$，需要对代数式$(a- \frac{b^{2}}{a}) · \frac{a}{a - b}$进行化简。
首先对$a - \frac{b^{2}}{a}$通分，可得$\frac{a^{2}}{a}-\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}$。
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，则$\frac{a^{2}-b^{2}}{a}=\frac{(a + b)(a - b)}{a}$。
所以$(a - \frac{b^{2}}{a})·\frac{a}{a - b}=\frac{(a + b)(a - b)}{a}·\frac{a}{a - b}$，约分可得$a + b$。
因为$a + b = 2$，所以原式的值为$2$。

6.计算:$2^{-1} =$.

$\frac{1}{2}$

根据负整数指数幂的定义，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$，$n$为正整数），则$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$

7.计算:$\frac{m}{2m+1} + \frac{m+1}{2m+1} =$

1

同分母分式相加，分母不变，分子相加：$\frac{m + (m + 1)}{2m + 1} = \frac{2m + 1}{2m + 1} = 1$

8.计算$\frac{b}{a^{2}-b^{2}} ÷ (1- \frac{a}{a+b})$的结果是

$\frac{1}{a - b}$（或者填写 $ \frac{1}{a-b} $ 对应的选项字母，如果题目是选择题且给出选项的话，否则直接保留分数形式。）

原式可化简为：
$\frac{b}{a^{2} - b^{2}} ÷ \left(1 - \frac{a}{a + b}\right)$
先将分母 $a^{2} - b^{2}$ 分解因式：
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
所以，原式变为：
$\frac{b}{(a + b)(a - b)} ÷ \left(\frac{a + b - a}{a + b}\right)$
化简第二个分式：
$\frac{a + b - a}{a + b} = \frac{b}{a + b}$
将除法转换为乘法：
$\frac{b}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{b}$
约分后得到：
$\frac{1}{a - b}$

9.已知$a^{2}+3ab+b^{2}=0(a \neq 0,b \neq 0)$,则代数式$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值等于

-3

已知$a^{2}+3ab+b^{2}=0$，等式两边同时除以$ab$（$a\neq0$，$b\neq0$，$ab\neq0$），得$\frac{a}{b} + 3 + \frac{b}{a}=0$，移项可得$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}=-3$。

10.将$(\frac{1}{3})^{-1}$,$(-3)^{0}$,$(-3)^{-2}$这$3$个数按从小到大的顺序排列为

$(-3)^{-2} ＜ (-3)^{0} ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$

计算各数：$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$(-3)^{0}=1$，$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$。比较大小：$\frac{1}{9} ＜ 1 ＜ 3$，所以顺序为$(-3)^{-2} ＜ (-3)^{0} ＜ (\frac{1}{3})^{-1}$。