23. （11 分）阅读材料：
如图①，四边形 $ABCD$ 是矩形，$△ AEF$ 是等腰直角三角形，记 $∠ BAE$ 为 $α$，$∠ FAD$ 为 $β$，若 $\tanα = \frac{1}{2}$，则 $\tanβ = \frac{1}{3}$.
证明：设 $BE = k$，$\because\tanα = \frac{1}{2}$，$\therefore AB = 2k$，
易证 $△ AEB≌△ EFC(AAS)$，$\therefore EC = 2k$，$CF = k$，$\therefore FD = k$，$AD = 3k$，
$\therefore\tanβ = \frac{DF}{AD} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$.
综上可得结论：若 $α + β = 45^{\circ}$，当 $\tanα = \frac{1}{2}$ 时，则 $\tanβ = \frac{1}{3}$.
同理，若 $α + β = 45^{\circ}$，当 $\tanα = \frac{1}{3}$ 时，则 $\tanβ = \frac{1}{2}$.
根据上述材料，完成下列问题：
如图②，直线 $y = 3x - 9$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于点 $A$，与 $x$ 轴交于点 $B$，将直线 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 后的直线与 $y$ 轴交于点 $E$，过点 $A$ 作 $AM⊥ x$ 轴于点 $M$，过点 $A$ 作 $AN⊥ y$ 轴于点 $N$，已知 $OA = 5$.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出 $\tan∠ BAM$，$\tan∠ NAE$ 的值；
（3）求直线 $AE$ 的解析式.

23. (1)$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$ (2)$\tan∠ BAM=\dfrac{1}{3}$，$\tan∠ NAE=\dfrac{1}{2}$ (3)直线$AE$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$

（1）设点$A$的坐标为$(a,b)$，因为点$A$在直线$y = 3x - 9$上，所以$b = 3a - 9$。又因为$OA = 5$，根据勾股定理可得$a^2 + b^2 = 25$。将$b = 3a - 9$代入$a^2 + b^2 = 25$，得$a^2 + (3a - 9)^2 = 25$，展开并整理得$10a^2 - 54a + 56 = 0$，即$5a^2 - 27a + 28 = 0$，解得$a = 4$或$a = \frac{7}{5}$。因为$x＞0$，当$a = \frac{7}{5}$时，$b = 3×\frac{7}{5} - 9 = -\frac{24}{5}$（舍去），所以$a = 4$，$b = 3×4 - 9 = 3$，则点$A$的坐标为$(4,3)$。因为点$A$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$上，所以$m = 4×3 = 12$，反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}(x＞0)$。
（2）$\tan∠ BAM = \frac{1}{3}$，$\tan∠ NAE = \frac{1}{2}$
（3）由（2）知$\tan∠ NAE = \frac{1}{2}$，因为$AN = 4$，$ON = 3$，设$EN = t$，则$\tan∠ NAE = \frac{EN}{AN} = \frac{t}{4} = \frac{1}{2}$，解得$t = 2$，所以$OE = ON + EN = 3 + 2 = 5$，点$E$的坐标为$(0,5)$。设直线$AE$的解析式为$y = kx + c$，将$A(4,3)$，$E(0,5)$代入得$\begin{cases}4k + c = 3 \\ c = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\ c = 5\end{cases}$，直线$AE$的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 5$。