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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 40^{\circ} $，$ AB = 10 $，则直角边 $ BC $ 的长是(
A.$ 10 \sin 40^{\circ} $
B.$ 10 \cos 40^{\circ} $
C.$ 10 \tan 40^{\circ} $
D.$ \dfrac{10}{\sin 40^{\circ}} $
B
)A.$ 10 \sin 40^{\circ} $
B.$ 10 \cos 40^{\circ} $
C.$ 10 \tan 40^{\circ} $
D.$ \dfrac{10}{\sin 40^{\circ}} $
答案
1. B
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ B=40^{\circ}$，$AB=10$。
因为$\cos B=\frac{BC}{AB}$，所以$BC=AB·\cos B=10\cos40^{\circ}$。
答案：B
因为$\cos B=\frac{BC}{AB}$，所以$BC=AB·\cos B=10\cos40^{\circ}$。
答案：B
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \tan A = 3 $，$ AC = 10 $，则 $ S_{△ ABC} $ 等于(
A.$ 3 $
B.$ 300 $
C.$ \dfrac{50}{3} $
D.$ 150 $
D
)A.$ 3 $
B.$ 300 $
C.$ \dfrac{50}{3} $
D.$ 150 $
答案
2. D
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A = 3$，$AC = 10$。
因为$\tan A=\dfrac{BC}{AC}$，所以$BC = AC · \tan A=10×3 = 30$。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×10×30 = 150$。
D
因为$\tan A=\dfrac{BC}{AC}$，所以$BC = AC · \tan A=10×3 = 30$。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×10×30 = 150$。
D
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 2 \sqrt{5} $，$ \tan A = \dfrac{1}{2} $，则 $ BC $ 的长是(
A.$ 2 $
B.$ 8 $
C.$ 2 \sqrt{5} $
D.$ 4 \sqrt{5} $
A
)A.$ 2 $
B.$ 8 $
C.$ 2 \sqrt{5} $
D.$ 4 \sqrt{5} $
答案
3. A
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$，设$BC=x$，则$AC=2x$。
由勾股定理得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(2x)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，
$x^{2}+4x^{2}=20$，$5x^{2}=20$，$x^{2}=4$，解得$x=2$（$x=-2$舍去），
所以$BC=2$。
A
由勾股定理得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(2x)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，
$x^{2}+4x^{2}=20$，$5x^{2}=20$，$x^{2}=4$，解得$x=2$（$x=-2$舍去），
所以$BC=2$。
A
4. 如果等腰三角形的底角为 $ 30^{\circ} $，腰长为 $ 6 \mathrm{ cm} $，那么这个三角形的面积为
$ 9\sqrt{3} $
.答案
4. $ 9\sqrt{3} $
解析
解：过等腰三角形的顶点作底边的垂线，交底边于一点。
因为等腰三角形底角为$30^{\circ}$，腰长为$6\space cm$，所以高$h = 6×\sin30^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3\space cm$。
底边的一半$a = 6×\cos30^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\space cm$，则底边为$2a = 6\sqrt{3}\space cm$。
面积$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3 = 9\sqrt{3}\space cm^{2}$。
$9\sqrt{3}$
因为等腰三角形底角为$30^{\circ}$，腰长为$6\space cm$，所以高$h = 6×\sin30^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3\space cm$。
底边的一半$a = 6×\cos30^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\space cm$，则底边为$2a = 6\sqrt{3}\space cm$。
面积$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3 = 9\sqrt{3}\space cm^{2}$。
$9\sqrt{3}$
5. 已知 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 2 \sqrt{3} $，$ AB = 4 $，解这个直角三角形.
答案
5. $ BC = 2 $，$ ∠A = 30^{\circ} $，$ ∠B = 60^{\circ} $
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=2\sqrt{3}$，$AB=4$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16 - 12}=\sqrt{4}=2$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30^{\circ}$。
$∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
综上，$BC=2$，$∠ A=30^{\circ}$，$∠ B=60^{\circ}$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16 - 12}=\sqrt{4}=2$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30^{\circ}$。
$∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
综上，$BC=2$，$∠ A=30^{\circ}$，$∠ B=60^{\circ}$。
6. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A = 30^{\circ} $，$ \tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，$ AC = 2 \sqrt{3} $，求 $ AB $.
答案
6. 5
解析
解：过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $。
在$ \mathrm{Rt} △ ACD $中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 2\sqrt{3} $，
$ CD = AC · \sin 30° = 2\sqrt{3} × \dfrac{1}{2} = \sqrt{3} $，
$ AD = AC · \cos 30° = 2\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3 $。
在$ \mathrm{Rt} △ BCD $中，$ \tan B = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，$ CD = \sqrt{3} $，
$ \dfrac{\sqrt{3}}{BD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，解得$ BD = 2 $。
$ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5 $。
5
在$ \mathrm{Rt} △ ACD $中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 2\sqrt{3} $，
$ CD = AC · \sin 30° = 2\sqrt{3} × \dfrac{1}{2} = \sqrt{3} $，
$ AD = AC · \cos 30° = 2\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3 $。
在$ \mathrm{Rt} △ BCD $中，$ \tan B = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，$ CD = \sqrt{3} $，
$ \dfrac{\sqrt{3}}{BD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，解得$ BD = 2 $。
$ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5 $。
5
7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，点 $ D $ 在 $ AC $ 上，已知 $ ∠ BDC = 45^{\circ} $，$ BD = 10 \sqrt{2} $，$ AB = 20 $，求 $ ∠ A $ 的度数.
答案
7. $ ∠A = 30^{\circ} $
解析
解：在$△BDC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠BDC=45^{\circ}$，$BD=10\sqrt{2}$，
$\therefore \cos∠BDC=\frac{CD}{BD}$，$\sin∠BDC=\frac{BC}{BD}$，
$\because \cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CD=BD·\cos45^{\circ}=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$BC=BD·\sin45^{\circ}=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AB=20$，$BC=10$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠A=30^{\circ}$。
$\therefore \cos∠BDC=\frac{CD}{BD}$，$\sin∠BDC=\frac{BC}{BD}$，
$\because \cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CD=BD·\cos45^{\circ}=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$BC=BD·\sin45^{\circ}=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AB=20$，$BC=10$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠A=30^{\circ}$。
