19. (本题满分 9 分)
如图所示，在四边形$ABCD$中，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$，$BE$平分$\angle ABC$，$DF$平分$\angle ADC$。
求证：$BE// DF$。

证明：
∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180°（四边形内角和定理）。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBC=1/2∠ABC，∠FDC=1/2∠ADC（角平分线定义）。
在Rt△DFC中，∠C=90°，
∴∠FDC+∠DFC=90°（直角三角形两锐角互余）。
∴∠DFC=90°-∠FDC=90°-1/2∠ADC。
又∵∠ABC=180°-∠ADC，
∴∠EBC=1/2∠ABC=1/2(180°-∠ADC)=90°-1/2∠ADC。
∴∠DFC=∠EBC（等量代换）。
∴BE//DF（同位角相等，两直线平行）。

20. (本题满分 9 分)
已知：如图，$AB// DC$，点$E$是$BC$上一点，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
求证：$AE\perp DE$。

已知：AB//DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AE⊥DE。
证明：
∵AB//DC（已知），
∴∠BAD+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAD=∠1+∠2=2∠2（角的和差定义）。
∵∠3=∠4（已知），
∴∠ADC=∠3+∠4=2∠3（角的和差定义）。
∴2∠2+2∠3=180°（等量代换），
∴∠2+∠3=90°（等式性质）。
在△AED中，∠AED+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），
∴∠AED=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°（等量代换）。
∴AE⊥DE（垂直的定义）。