8.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + m = a$可以通过配方写成$(x - n)^2 = a - 2$的形式，则$m$，$n$之间的关系是（）.

A.$m = n + 2$
B.$m = n - 2$
C.$m = n^2 + 2$
D.$m = n^2 - 2$

8. C 解析 方程 $x^2 - px + m = a$ 移项,得$x^2 - px = a - m$. 配方,得 $x^2 - px + (\frac{p}{2})^2 = a - m + (\frac{p}{2})^2$,$(x-\frac{p}{2})^2=a-m+(\frac{p}{2})^2$,
$\therefore n=\frac{p}{2},a-m+(\frac{p}{2})^2=a-2$,
$\therefore m=(\frac{p}{2})^2+2$,即 $m=n^2+2$.

9.若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程$x^2 -10x +21=0$的根，则该三角形的周长为。

9. 16

10.规定：$a\otimes b=(a+b)b$.如：$2\otimes 3=(2+3)× 3=15$.若$2\otimes x=3$，则$x$的值为.

10. 1或-3 解析 依题意,得$(2+x)x=3$,整理,得 $x^2+2x=3$. 配方,得 $x^2+2x+1^2=3+1^2$,$(x+1)^2=4$. 由此可得 $x+1=\pm2$. $x_1=1$,$x_2=-3$.

11.已知a是不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解，请用配方法解关于x的方程$x^2+2ax+a+1=0$。

11. 解 解不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$,得$a＞-3$,$\therefore a=-2$.
将$a=-2$代入方程$x^2+2ax+a+1=0$,得$x^2-4x-1=0$.
移项,得$x^2-4x=1$.
配方,得$x^2-4x+2^2=1+2^2$,$(x-2)^2=5$.
由此可得$x-2=\pm\sqrt{5}$.
$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$.

12. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知$x$可取任意实数,试求$x^2 + 6x -1$的最小值.
解:$x^2 +6x -1 = x^2 +6x +3^2 -3^2 -1 = (x+3)^2 -10$,
∵无论$x$取何实数,总有$(x+3)^2 ≥0$,
∴$(x+3)^2 -10 ≥ -10$,
即$x^2 +6x -1$的最小值是$-10$.
问题:
(1)已知$x$可取任意实数,则二次三项式$x^2 -6x +10$的最值情况是().
A. 有最大值$-1$
B. 有最小值$-1$
C. 有最大值$1$
D. 有最小值$1$
(2)已知$y = x^2 -4x +7$,求证:$y$是正数.

12. (1) D 解析 $x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.
$\because$ 无论 $x$ 取何实数,总有 $(x-3)^2 ≥ 0$,
$\therefore (x-3)^2 + 1 ≥ 1$,即二次三项式 $x^2 - 6x + 10$ 有最小值 1. 故选 D.
(2)证明 $y = x^2 - 4x + 7 = x^2 - 4x + 4 + 3 = (x-2)^2 + 3$.
$\because (x-2)^2 ≥ 0$,$\therefore (x-2)^2 + 3 ≥ 3$,即 $y ≥ 3$,
$\therefore y$ 是正数.