登录
9. 关于$x$的一元二次方程$a(x-h)^2=k(a≠0)$的两根分别为－1、3，则关于$x$的一元二次方程$a(2x - h + 1)^2 = k$的两根分别为 【 】
A.$x_1=-2, x_2=6$
B.$x_1=0, x_2=2$
C.$x_1=-1, x_2=1$
D.$x_1=0, x_2=-1$
A.$x_1=-2, x_2=6$
B.$x_1=0, x_2=2$
C.$x_1=-1, x_2=1$
D.$x_1=0, x_2=-1$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特征：形如$a(整体)^2=k(a≠0,ak≥0)$的方程，解为“整体”等于$\pm\sqrt{\frac{k}{a}}$。已知方程$a(x-h)^2=k$的两根为-1和3，说明当整体为$x-h$时，对应的$x$取-1、3可满足方程。再观察待求方程$a(2x-h+1)^2=k$，将括号内变形可得$a[(2x+1)-h]^2=k$，这里的整体变为$(2x+1)-h$，因此可把$2x+1$看作第一个方程中的$x$，直接令$2x+1$等于第一个方程的两根，解一元一次方程即可得到结果，无需计算$h、k$的具体值。
【解析】
解法一（换元法）：
1. 设$t=2x+1$，则待求方程$a(2x-h+1)^2=k$可变形为：
$a[(2x+1)-h]^2=k$，即$a(t-h)^2=k$。
2. 已知$a(x-h)^2=k$的两根为$x=-1$、$x=3$，因此方程$a(t-h)^2=k$的解为$t=-1$或$t=3$。
3. 分别解一元一次方程：
当$t=-1$时，$2x+1=-1$，解得$x=-1$；
当$t=3$时，$2x+1=3$，解得$x=1$。
因此方程的两根为$x_1=-1$，$x_2=1$。
解法二（计算参数法）：
1. 一元二次方程$a(x-h)^2=k$的对称轴为$x=h$，两根为-1和3，因此$h=\frac{-1+3}{2}=1$。
2. 将$x=-1$，$h=1$代入$a(x-h)^2=k$得：$a(-1-1)^2=k$，即$k=4a$。
3. 将$h=1$、$k=4a$代入待求方程得：$a(2x-1+1)^2=4a$，化简得$4ax^2=4a$。
4. 因为$a≠0$，两边同时除以$a$得$x^2=1$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；换元法；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，核心是运用整体代换的思想简化计算，避免不必要的参数求解，能有效锻炼学生的转化思维和对解方程方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特征：形如$a(整体)^2=k(a≠0,ak≥0)$的方程，解为“整体”等于$\pm\sqrt{\frac{k}{a}}$。已知方程$a(x-h)^2=k$的两根为-1和3，说明当整体为$x-h$时，对应的$x$取-1、3可满足方程。再观察待求方程$a(2x-h+1)^2=k$，将括号内变形可得$a[(2x+1)-h]^2=k$，这里的整体变为$(2x+1)-h$，因此可把$2x+1$看作第一个方程中的$x$，直接令$2x+1$等于第一个方程的两根，解一元一次方程即可得到结果，无需计算$h、k$的具体值。
【解析】
解法一（换元法）：
1. 设$t=2x+1$，则待求方程$a(2x-h+1)^2=k$可变形为：
$a[(2x+1)-h]^2=k$，即$a(t-h)^2=k$。
2. 已知$a(x-h)^2=k$的两根为$x=-1$、$x=3$，因此方程$a(t-h)^2=k$的解为$t=-1$或$t=3$。
3. 分别解一元一次方程：
当$t=-1$时，$2x+1=-1$，解得$x=-1$；
当$t=3$时，$2x+1=3$，解得$x=1$。
因此方程的两根为$x_1=-1$，$x_2=1$。
解法二（计算参数法）：
1. 一元二次方程$a(x-h)^2=k$的对称轴为$x=h$，两根为-1和3，因此$h=\frac{-1+3}{2}=1$。
2. 将$x=-1$，$h=1$代入$a(x-h)^2=k$得：$a(-1-1)^2=k$，即$k=4a$。
3. 将$h=1$、$k=4a$代入待求方程得：$a(2x-1+1)^2=4a$，化简得$4ax^2=4a$。
4. 因为$a≠0$，两边同时除以$a$得$x^2=1$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；换元法；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，核心是运用整体代换的思想简化计算，避免不必要的参数求解，能有效锻炼学生的转化思维和对解方程方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 若方程$(x + 2)^2 = m - 1$有解，则$m$的取值范围为
$m ≥ 1$
。答案
10. $m ≥ 1$
解析
【分析】
要判断方程有解时$m$的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。本题等号左侧是完全平方式$(x+2)^2$，它的取值必然大于等于0，因此要使方程有解，等号右侧的$m-1$也必须大于等于0，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x+2)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x+2)^2 = m - 1$有解，
∴ 等号右侧的代数式需满足$m - 1 ≥ 0$，
解这个不等式可得$m ≥ 1$。
【答案】
$m ≥ 1$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查直接开平方法解方程的前提条件，解题核心是牢记平方数的非负性，只要掌握该性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断方程有解时$m$的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。本题等号左侧是完全平方式$(x+2)^2$，它的取值必然大于等于0，因此要使方程有解，等号右侧的$m-1$也必须大于等于0，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x+2)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x+2)^2 = m - 1$有解，
∴ 等号右侧的代数式需满足$m - 1 ≥ 0$，
解这个不等式可得$m ≥ 1$。
【答案】
$m ≥ 1$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查直接开平方法解方程的前提条件，解题核心是牢记平方数的非负性，只要掌握该性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11.(吉林期末)已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程$(x - 5)^2 = 9$的一个根，则这个三角形的周长为
18
。答案
11. 18
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），判断两个取值是否都能构成三角形，舍去不符合条件的根；第三步将符合条件的第三边长与已知两边相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$(x - 5)^2 = 9$：
两边直接开平方，得$x-5=\pm3$
即$x-5=3$或$x-5=-3$
解得$x_1=8$，$x_2=2$
2. 根据三角形三边关系验证根的合理性：
已知三角形两边长为4和6，
若第三边长为2，此时$2+4=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去；
若第三边长为8，此时$4+6＞8$，$6+8＞4$，$4+8＞6$，满足三角形三边关系，符合条件。
3. 计算三角形周长：
周长为$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意求解一元二次方程得到根后，必须结合三角形三边关系验证根是否符合实际情况，避免未验证直接代入计算导致出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），判断两个取值是否都能构成三角形，舍去不符合条件的根；第三步将符合条件的第三边长与已知两边相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$(x - 5)^2 = 9$：
两边直接开平方，得$x-5=\pm3$
即$x-5=3$或$x-5=-3$
解得$x_1=8$，$x_2=2$
2. 根据三角形三边关系验证根的合理性：
已知三角形两边长为4和6，
若第三边长为2，此时$2+4=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去；
若第三边长为8，此时$4+6＞8$，$6+8＞4$，$4+8＞6$，满足三角形三边关系，符合条件。
3. 计算三角形周长：
周长为$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意求解一元二次方程得到根后，必须结合三角形三边关系验证根是否符合实际情况，避免未验证直接代入计算导致出错。
【难度系数】
0.7
12. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $9(y + 4)^2 - 49 = 0$；
(2) $4(x - 2)^2 - 3 = 0$；
(3) $4(2y - 5)^2 = 9(3y - 1)^2$；
(4) $x^2 - 6x + 9 = 7$。
(1) $9(y + 4)^2 - 49 = 0$；
(2) $4(x - 2)^2 - 3 = 0$；
(3) $4(2y - 5)^2 = 9(3y - 1)^2$；
(4) $x^2 - 6x + 9 = 7$。
答案
(1) 原方程可化为$(y+4)^2=\frac{49}{9}$. 直接开平方法，得$y+4=\pm\frac{7}{3}. \therefore y_1=-\frac{5}{3}, y_2=-\frac{19}{3}$ (2) 原方程可化为$(x-2)^2=\frac{3}{4}$. 直接开平方法，得$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}. \therefore x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) 直接开平方法，得$2(2y-5)=\pm3(3y-1). \therefore y_1=-\frac{7}{5}, y_2=1$ (4) 原方程可化为$(x-3)^2=7$. 直接开平方法，得$x-3=\pm\sqrt{7}. \therefore x_1=3+\sqrt{7}, x_2=3-\sqrt{7}$
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义将二次方程降为两个一元一次方程求解。具体思考路径：①前两题先将常数项移到等号右侧，再把完全平方式的系数化为1，之后开平方求解；②第(3)题左右两边均为完全平方式，可直接对两边开平方，注意右侧要带上正负号；③第(4)题左边是完全平方展开式，先整理为平方形式后再开平方，开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$9(y + 4)^2 = 49$，
系数化为1得：$(y+4)^2=\frac{49}{9}$，
开平方得：$y+4=\pm\frac{7}{3}$，
即$y+4=\frac{7}{3}$或$y+4=-\frac{7}{3}$，
解得：$y_1=-\frac{5}{3}, y_2=-\frac{19}{3}$；
(2) 移项得：$4(x - 2)^2 = 3$，
系数化为1得：$(x-2)^2=\frac{3}{4}$，
开平方得：$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$x-2=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$x-2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(3) 两边直接开平方得：$2(2y-5)=\pm3(3y-1)$，
分两种情况计算：
① $2(2y-5)=3(3y-1)$，展开得$4y-10=9y-3$，移项合并得$-5y=7$，解得$y=-\frac{7}{5}$；
② $2(2y-5)=-3(3y-1)$，展开得$4y-10=-9y+3$，移项合并得$13y=13$，解得$y=1$；
$\therefore y_1=-\frac{7}{5}, y_2=1$；
(4) 左边利用完全平方公式整理得：$(x-3)^2=7$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{7}$，
即$x-3=\sqrt{7}$或$x-3=-\sqrt{7}$，
解得：$x_1=3+\sqrt{7}, x_2=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{5}{3}, y_2=-\frac{19}{3}$
(2) $x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(3) $y_1=-\frac{7}{5}, y_2=1$
(4) $x_1=3+\sqrt{7}, x_2=3-\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方式；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练将方程转化为“平方项=非负数”的标准形式，开平方时要注意正负两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义将二次方程降为两个一元一次方程求解。具体思考路径：①前两题先将常数项移到等号右侧，再把完全平方式的系数化为1，之后开平方求解；②第(3)题左右两边均为完全平方式，可直接对两边开平方，注意右侧要带上正负号；③第(4)题左边是完全平方展开式，先整理为平方形式后再开平方，开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$9(y + 4)^2 = 49$，
系数化为1得：$(y+4)^2=\frac{49}{9}$，
开平方得：$y+4=\pm\frac{7}{3}$，
即$y+4=\frac{7}{3}$或$y+4=-\frac{7}{3}$，
解得：$y_1=-\frac{5}{3}, y_2=-\frac{19}{3}$；
(2) 移项得：$4(x - 2)^2 = 3$，
系数化为1得：$(x-2)^2=\frac{3}{4}$，
开平方得：$x-2=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$x-2=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$x-2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(3) 两边直接开平方得：$2(2y-5)=\pm3(3y-1)$，
分两种情况计算：
① $2(2y-5)=3(3y-1)$，展开得$4y-10=9y-3$，移项合并得$-5y=7$，解得$y=-\frac{7}{5}$；
② $2(2y-5)=-3(3y-1)$，展开得$4y-10=-9y+3$，移项合并得$13y=13$，解得$y=1$；
$\therefore y_1=-\frac{7}{5}, y_2=1$；
(4) 左边利用完全平方公式整理得：$(x-3)^2=7$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{7}$，
即$x-3=\sqrt{7}$或$x-3=-\sqrt{7}$，
解得：$x_1=3+\sqrt{7}, x_2=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{5}{3}, y_2=-\frac{19}{3}$
(2) $x_1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(3) $y_1=-\frac{7}{5}, y_2=1$
(4) $x_1=3+\sqrt{7}, x_2=3-\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方式；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练将方程转化为“平方项=非负数”的标准形式，开平方时要注意正负两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
13. 若一元二次方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)$的两根分别为$m+1$和$2m -4$. 求：
(1) $m$的值；
(2) $\frac{b}{a}$的值.
(1) $m$的值；
(2) $\frac{b}{a}$的值.
答案
(1) $\because ax^2=b$，$a≠0, \therefore x^2=\frac{b}{a}. \therefore x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，即方程的两根互为相反数. $\because$ 一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$和$2m-4$，$\therefore m+1+2m-4=0$. 解得$m=1$ (2) 当$m=1$时，$m+1=2$，$2m-4=-2$. $\because x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$和$2m-4$，$\therefore \frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$
解析
【分析】
首先，对于一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$，可通过直接开平方法求解，可知方程的两个根互为相反数（正数开平方得到两个互为相反数的实根）。第(1)问利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值；第(2)问由$x^2=\frac{b}{a}$可知，$\frac{b}{a}$等于方程根的平方，代入$m$的值得到方程的根后，计算平方即可得到$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) $\because ax^2 = b$是一元二次方程，$\therefore a≠0$，等式两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$。
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，即该方程的两根互为相反数。
已知方程两根分别为$m+1$和$2m-4$，$\therefore$两根之和为0，即：
$m+1+2m-4=0$
合并同类项得$3m-3=0$，解得$m=1$。
(2) 当$m=1$时，两根分别为：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
由$x^2=\frac{b}{a}$，将$x=\pm2$代入可得：
$\frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法，相反数的性质，一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握直接开平方法解方程的特点，明确开平方所得的两个根互为相反数，结合简单的代数运算即可求解，重点考查对解方程方法的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先，对于一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$，可通过直接开平方法求解，可知方程的两个根互为相反数（正数开平方得到两个互为相反数的实根）。第(1)问利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值；第(2)问由$x^2=\frac{b}{a}$可知，$\frac{b}{a}$等于方程根的平方，代入$m$的值得到方程的根后，计算平方即可得到$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) $\because ax^2 = b$是一元二次方程，$\therefore a≠0$，等式两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$。
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，即该方程的两根互为相反数。
已知方程两根分别为$m+1$和$2m-4$，$\therefore$两根之和为0，即：
$m+1+2m-4=0$
合并同类项得$3m-3=0$，解得$m=1$。
(2) 当$m=1$时，两根分别为：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
由$x^2=\frac{b}{a}$，将$x=\pm2$代入可得：
$\frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法，相反数的性质，一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握直接开平方法解方程的特点，明确开平方所得的两个根互为相反数，结合简单的代数运算即可求解，重点考查对解方程方法的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
