4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AC$为直径的$\odot O$分别交$BC$，$AB$于点$D$，$E$.
(1)求证：$BD=CD$.
(2)若$∠ BAC=40°$，求$\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角的度数.
(3)若$BE=2$，$AE=7$，求$BC$的长.

4. (1)证明：如图，连接AD.
∵AC为⊙O的直径，点D在⊙O上，
∴∠ADC=90°.
∴AD⊥BC.
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形.
∴BD=CD.
(2) 20°，20°，70°
(3)解：如图，连接DE.
∵BE=2，AE=7，
∴AB=AE+BE=9.
∵四边形ACDE是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠CDE=180°.
又
∵∠BDE+∠CDE=180°，
∴∠BDE=∠BAC.
又
∵∠EBD=∠CBA，
∴△BDE∽△BAC.
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}$.
∵BD=CD，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$.
∴$\frac{\frac{1}{2}BC}{9}=\frac{2}{BC}$.
∴BC=6.

5. 我们知道：同弧(或等弧)所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半. 那么，在一个圆内，同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
(1)如图①，AB是$\odot O$的弦，$∠ AOB＝100°$，点$P_1$，$P_2$的位置如图所示，则$∠ AP_1B＝$，$∠ AP_2B＝$.
(2)如图②，AB是$\odot O$的弦，$∠ AOB＝m(0°＜m＜180°)$. 求弦AB所对圆周角的度数.(用含$m$的代数式表示)

5. (1) 50°，130°
(2)当点 P 在优弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上时，$∠APB=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{m}{2}$；
当点 P 在劣弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上时，$∠APB=180°-\frac{m}{2}$.