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8.小明从家里骑自行车到学校，在同一时间出发，每小时骑15 km可早到10 min，每小时骑12 km就会迟到5 min。他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是$x$ km，则根据题意列出的方程是（
A.$\dfrac{x}{15}+\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
B.$\dfrac{x}{15}-\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}+\dfrac{5}{60}$
C.$\dfrac{x}{15}-\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
D.$\dfrac{x}{15}+10=\dfrac{x}{12}-5$
A
）。A.$\dfrac{x}{15}+\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
B.$\dfrac{x}{15}-\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}+\dfrac{5}{60}$
C.$\dfrac{x}{15}-\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
D.$\dfrac{x}{15}+10=\dfrac{x}{12}-5$
答案
8.A
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用的行程问题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中，小明出发时间固定，学校的上课时间也固定，因此两种骑行方式对应的规定到校时间是相等的。思考步骤如下：
1. 明确单位要统一：速度单位是km/h，给出的时间差是分钟，需要换算为小时（除以60），首先排除未换算单位的选项D；
2. 用路程和速度分别表示两种情况的骑行时间：速度15km/h时用时$\frac{x}{15}$h，速度12km/h时用时$\frac{x}{12}$h；
3. 结合早到、迟到的条件表示规定时间：早到10分钟意味着骑行时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+$\frac{10}{60}$h；迟到5分钟意味着骑行时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-$\frac{5}{60}$h；
4. 两个规定时间相等，即可列出对应方程。
【解析】
首先统一单位：$10\mathrm{min}=\frac{10}{60}\mathrm{h}$，$5\mathrm{min}=\frac{5}{60}\mathrm{h}$。
本题的等量关系为：两种骑行方式对应的规定到校时间相等。
① 当骑行速度为15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}$h，因为早到10min，所以规定到校时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
② 当骑行速度为12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}$h，因为迟到5min，所以规定到校时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$；
因为规定到校时间相等，所以可列方程：
$\dfrac{x}{15}+\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题公式
3. 时间单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题关键是抓住"规定到校时间"这个不变量建立等量关系，解题时需要注意不同单位的统一，避免因单位混用导致错误。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用的行程问题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中，小明出发时间固定，学校的上课时间也固定，因此两种骑行方式对应的规定到校时间是相等的。思考步骤如下：
1. 明确单位要统一：速度单位是km/h，给出的时间差是分钟，需要换算为小时（除以60），首先排除未换算单位的选项D；
2. 用路程和速度分别表示两种情况的骑行时间：速度15km/h时用时$\frac{x}{15}$h，速度12km/h时用时$\frac{x}{12}$h；
3. 结合早到、迟到的条件表示规定时间：早到10分钟意味着骑行时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+$\frac{10}{60}$h；迟到5分钟意味着骑行时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-$\frac{5}{60}$h；
4. 两个规定时间相等，即可列出对应方程。
【解析】
首先统一单位：$10\mathrm{min}=\frac{10}{60}\mathrm{h}$，$5\mathrm{min}=\frac{5}{60}\mathrm{h}$。
本题的等量关系为：两种骑行方式对应的规定到校时间相等。
① 当骑行速度为15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}$h，因为早到10min，所以规定到校时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
② 当骑行速度为12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}$h，因为迟到5min，所以规定到校时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$；
因为规定到校时间相等，所以可列方程：
$\dfrac{x}{15}+\dfrac{10}{60}=\dfrac{x}{12}-\dfrac{5}{60}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题公式
3. 时间单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题关键是抓住"规定到校时间"这个不变量建立等量关系，解题时需要注意不同单位的统一，避免因单位混用导致错误。
【难度系数】
0.7
9.一列火车长 480 m,速度为 60 km/h,有一辆速度为 80 km/h 的小汽车,要超越正常行驶的火车,由火车尾追至火车头需要
1.44
min。(小汽车车身长不计)答案
9. 1.44
解析
【分析】
这是同方向行驶的追及问题，解题思路如下：1. 明确追及的路程差：小汽车从火车尾追至火车头，且自身长度不计，因此追及过程中小汽车比火车多行驶的路程刚好等于火车的长度480m；2. 统一单位：题目中速度单位是km/h，路程单位是m，最终时间要求是min，需要先统一单位避免计算错误；3. 找等量关系列方程：追及问题的核心等量关系为“快者行驶路程 - 慢者行驶路程 = 路程差”，设时间为未知数列一元一次方程求解，最后换算单位得到答案即可。
【解析】
解：先统一单位：$480\mathrm{m}=0.48\mathrm{km}$。
设小汽车由火车尾追至火车头需要$x$小时。
根据追及问题等量关系：小汽车行驶路程 - 火车行驶路程 = 火车长度，列方程得：
$80x - 60x = 0.48$
合并同类项得：$20x = 0.48$
解得：$x = 0.024$
将时间单位换算为分钟：$0.024×60=1.44\mathrm{min}$
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题、一元一次方程的应用、单位换算
【点评】
本题是行程追及问题的基础典型题，解题核心是准确找到追及过程的路程差，尤其要注意不同单位的统一，避免因单位不匹配导致计算失误。
【难度系数】
0.7
这是同方向行驶的追及问题，解题思路如下：1. 明确追及的路程差：小汽车从火车尾追至火车头，且自身长度不计，因此追及过程中小汽车比火车多行驶的路程刚好等于火车的长度480m；2. 统一单位：题目中速度单位是km/h，路程单位是m，最终时间要求是min，需要先统一单位避免计算错误；3. 找等量关系列方程：追及问题的核心等量关系为“快者行驶路程 - 慢者行驶路程 = 路程差”，设时间为未知数列一元一次方程求解，最后换算单位得到答案即可。
【解析】
解：先统一单位：$480\mathrm{m}=0.48\mathrm{km}$。
设小汽车由火车尾追至火车头需要$x$小时。
根据追及问题等量关系：小汽车行驶路程 - 火车行驶路程 = 火车长度，列方程得：
$80x - 60x = 0.48$
合并同类项得：$20x = 0.48$
解得：$x = 0.024$
将时间单位换算为分钟：$0.024×60=1.44\mathrm{min}$
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题、一元一次方程的应用、单位换算
【点评】
本题是行程追及问题的基础典型题，解题核心是准确找到追及过程的路程差，尤其要注意不同单位的统一，避免因单位不匹配导致计算失误。
【难度系数】
0.7
10.甲、乙两车分别从相距 360 km 的 A,B两地出发,甲车的速度为 65 km/h,乙车的速度为 55 km/h。两车同时出发,相向而行,求经过多少小时后两车相距60 km。
答案
10.解:设经过 $x$ h 后两车相距 60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得 $65x+55x=360-60$,解得 $x=2.5$;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得 $65x+55x=360+60$,解得 $x=3.5$。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得 $65x+55x=360-60$,解得 $x=2.5$;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得 $65x+55x=360+60$,解得 $x=3.5$。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km。
解析
【分析】
本题是相向而行的行程问题，需分两种情况讨论：①两车尚未相遇时相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地总距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地总距离加上60km。两种情况均根据“两车行驶路程和=速度和×行驶时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$x$ h后两车相距60 km。
若相遇前相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360-60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360-60$
合并同类项得$120x=300$，解得$x=2.5$。
若相遇后相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360+60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360+60$
合并同类项得$120x=420$，解得$x=3.5$。
两种情况均符合题意。
【答案】
经过2.5 h或3.5 h后两车相距60 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相向问题；分类讨论思想
【点评】
本题是行程类问题的典型考法，解题的核心是准确梳理两车行驶的路程关系，注意需考虑相距固定距离的两种不同场景，避免漏解，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是相向而行的行程问题，需分两种情况讨论：①两车尚未相遇时相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地总距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地总距离加上60km。两种情况均根据“两车行驶路程和=速度和×行驶时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$x$ h后两车相距60 km。
若相遇前相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360-60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360-60$
合并同类项得$120x=300$，解得$x=2.5$。
若相遇后相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360+60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360+60$
合并同类项得$120x=420$，解得$x=3.5$。
两种情况均符合题意。
【答案】
经过2.5 h或3.5 h后两车相距60 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相向问题；分类讨论思想
【点评】
本题是行程类问题的典型考法，解题的核心是准确梳理两车行驶的路程关系，注意需考虑相距固定距离的两种不同场景，避免漏解，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.【数学文化】阅读下列史料，并解决相应的问题：
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
答案
11.解:设快马 $x$ 天可以追上慢马。根据题意,得 $240x-150x=150×12$,
解得 $x=20$,
所以快马 20 天可以追上慢马。
解得 $x=20$,
所以快马 20 天可以追上慢马。
解析
【分析】
这是典型的行程类追及问题，解题核心是找到追及场景下的等量关系：快马追赶期间行驶的总路程 = 慢马先行12天的路程 + 慢马在快马追赶期间行驶的路程。我们先设快马x天可以追上慢马，再分别表示出两马行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，最后求解方程即可得到结果。
【解析】
设快马$x$天可以追上慢马。
根据追及时两马的总行驶路程相等，列方程：
$240x-150x=150×12$
合并同类项得：$90x=1800$
系数化为1得：$x=20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题、行程等量关系
【点评】
本题以古代数学典籍的经典问题为背景，考查一元一次方程在实际行程问题中的应用，解题关键是准确梳理题干条件，找准追及问题中路程的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
这是典型的行程类追及问题，解题核心是找到追及场景下的等量关系：快马追赶期间行驶的总路程 = 慢马先行12天的路程 + 慢马在快马追赶期间行驶的路程。我们先设快马x天可以追上慢马，再分别表示出两马行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，最后求解方程即可得到结果。
【解析】
设快马$x$天可以追上慢马。
根据追及时两马的总行驶路程相等，列方程：
$240x-150x=150×12$
合并同类项得：$90x=1800$
系数化为1得：$x=20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题、行程等量关系
【点评】
本题以古代数学典籍的经典问题为背景，考查一元一次方程在实际行程问题中的应用，解题关键是准确梳理题干条件，找准追及问题中路程的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
