6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ AB = AC $，$ \angle BAC = 30° $，$ D $ 是 $ AB $ 上一点，且 $ BD = 2AD $，将 $ \triangle ABC $ 沿过 $ D $ 点的一条直线翻折，点 $ B $ 恰好落在 $ AC $ 边上的 $ F $ 点，折痕交 $ BC $ 于点 $ E $，则 $ \sin \angle FEC $ 的值为()

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $

B

设 $ AD = x $，则 $ BD = 2x $，$ AB = AC = 3x $。由翻折性质得 $ DF = BD = 2x $。在 $ \triangle ADF $ 中，$ AD = x $，$ DF = 2x $，$ \angle DAF = 30° $，由正弦定理得 $ \frac{AD}{\sin \angle AFD} = \frac{DF}{\sin \angle DAF} $，即 $ \frac{x}{\sin \angle AFD} = \frac{2x}{\sin 30°} $，解得 $ \sin \angle AFD = \frac{1}{4} $。设 $ \angle AFD = \alpha $，则 $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $。
由翻折性质知 $ \angle DFE = \angle B = 75° $（$ AB = AC $，$ \angle BAC = 30° $，故 $ \angle B = \angle C = 75° $）。因 $ A, F, C $ 共线，得 $ \angle AFD + \angle DFE + \angle EFC = 180° $，即 $ \alpha + 75° + \angle EFC = 180° $，故 $ \angle EFC = 105° - \alpha $。在 $ \triangle FEC $ 中，$ \angle FEC = 180° - \angle C - \angle EFC = 180° - 75° - (105° - \alpha) = \alpha $，因此 $ \sin \angle FEC = \sin \alpha = \frac{1}{4} $。

7. 如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系式中不正确的是()

A.$ h = m $
B.$ n ＞ h $
C.$ k ＞ n $
D.$ h ＞ 0 $，$ k ＞ 0 $

B

两条抛物线均为顶点式，对称轴分别为直线$x=h$和$x=m$，因对称轴相同，故$h=m$，A正确；二次项系数均为正，开口向上，对称轴$x=h$在$y$轴右侧（由图像知），则$h＞0$；顶点$(h,k)$在$x$轴上方，故$k＞0$，D正确；抛物线$y=\frac{1}{4}(x-h)^2+k$顶点$(h,k)$，$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+n$顶点$(h,n)$，由图像知前者顶点在后者上方，即$k＞n$，C正确；$n$为后者顶点纵坐标（由图像知其在$x$轴下方，$n＜0$），$h＞0$，则$n＜h$，B错误。

8. 如图，二次函数图象上有 3 个点 $ (-3, y_1) $，$ (m, y_2) $，$ (2, y_3) $。若 $ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $，则 $ m $ 可以取得的最大整数值为()

A.$ -1 $
B.$ 5 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

B

由图可知二次函数开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}=1.5$。开口向上时，点到对称轴距离越远，函数值越大。
点$(-3,y_1)$到对称轴距离：$1.5 - (-3)=4.5$；
点$(2,y_3)$到对称轴距离：$2 - 1.5=0.5$。
因$y_1＞y_2＞y_3$，则点$(m,y_2)$到对称轴距离需满足$0.5＜|m - 1.5|＜4.5$。
解得$-3＜m＜1$或$2＜m＜6$。
$m$的最大整数值在$2＜m＜6$中，为$5$。

9. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，$ A $，$ B $，$ P $，$ Q $ 四点均在正方形网格的格点上，线段 $ AB $，$ PQ $ 相交于点 $ M $，则图中 $ \angle QMB $ 的正切值是()

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 1 $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

D

设小正方形边长为1，建立坐标系。设A(1,3)，B(3,1)，P(0,1)，Q(3,2)。
直线AB：斜率为-1，方程y=-x+4；直线PQ：斜率为1/3，方程y=(1/3)x+1。
联立得交点M(9/4,7/4)。
过B作MQ垂线，垂足为N。直线MQ方程y=(1/3)x+1，垂线斜率-3，方程y=-3x+10。
联立得N(27/10,19/10)。
计算MN=3√10/20，BN=3√10/10。
tan∠QMB=BN/MN=2。

10. 如图 1，在矩形 $ ABCD $ 中，$ BC = x $，$ CD = y $，$ y $ 与 $ x $ 满足的反比例函数关系图象如图 2 所示。已知等腰直角三角形 $ AEF $ 的斜边 $ EF $ 过点 $ C $，$ M $ 为 $ EF $ 的中点，则下列结论中正确的是()


A.当 $ x = 3 $ 时，$ EC ＜ EM $
B.当 $ y = 9 $ 时，$ EC ＞ EM $
C.当 $ x $ 增大时，$ BE \cdot DF $ 的值增大
D.当 $ x $ 变化时，四边形 $ BCDA $ 的面积不变

D

1. 反比例函数关系：由图2知，当$x=3$时$y=3$，故$y=\frac{9}{x}$，即$xy=9$。
2. 矩形面积：四边形$BCDA$为矩形，面积$S=BC\cdot CD=x\cdot y=9$，为定值，故D正确。
3. 选项A：当$x=3$时，$y=3$。等腰直角$\triangle AEF$中，$EC=x\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，$EM=\frac{x+y}{\sqrt{2}}=\frac{3+3}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，则$EC=EM$，A错误。
4. 选项B：当$y=9$时，$x=1$。$EC=x\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$EM=\frac{x+y}{\sqrt{2}}=\frac{1+9}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$，则$EC＜EM$，B错误。
5. 选项C：$BE=x$，$DF=\frac{9}{x}$，故$BE\cdot DF=x\cdot\frac{9}{x}=9$（定值），C错误。