23. (本题满分 10 分)
(1) 分解下列因式,将结果直接写在横线上.
$ x^{2}+4x + 4= $;$ 16x^{2}+24x + 9= $;$ 9x^{2}-12x + 4= $.
(2) 观察以上三个多项式的系数,我们发现:
$ 4^{2}= 4×1×4 $,$ 24^{2}= 4×16×9 $,$ (-12)^{2}= 4×9×4 $.
① 猜想结论:若多项式 $ ax^{2}+bx + c(a\gt0) $ 是完全平方式,则系数 $ a,b,c $ 一定存在某种关系,请你用式子表示 $ a,b,c $ 之间的关系.

② 验证结论:请你写出一个完全平方式(不同于题中所出现的完全平方式),并验证①中的结论.

③ 解决问题:若多项式 $ (m + 8)x^{2}-(2m + 4)x + m $ 是一个完全平方式,求 $ m $ 的值.
因为多项式$(m + 8)x^{2}-(2m + 4)x + m$是一个完全平方式，所以$[-(2m + 4)]^{2}=4(m + 8)m$，
即$(2m + 4)^{2}=4(m + 8)m$，
$4m^{2}+16m+16 = 4m^{2}+32m$，
$16m+16 = 32m$，
$16m=16$，
解得$m = 1$。
当$m + 8=0$，即$m=-8$时，多项式为$12x - 8$，不是二次项，不符合完全平方式（二次三项式）的要求，舍去。
综上，$m$的值为$1$。

(1)
$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$；
$16x^{2}+24x + 9=(4x + 3)^{2}$；
$9x^{2}-12x + 4=(3x - 2)^{2}$。
(2)
① $b^{2}=4ac$。
② 例如$4x^{2}+4x + 1$，其中$a = 4$，$b = 4$，$c = 1$，$b^{2}=4^{2}=16$，$4ac=4×4×1 = 16$，满足$b^{2}=4ac$。
③ 因为多项式$(m + 8)x^{2}-(2m + 4)x + m$是一个完全平方式，所以$[-(2m + 4)]^{2}=4(m + 8)m$，
即$(2m + 4)^{2}=4(m + 8)m$，
$4m^{2}+16m+16 = 4m^{2}+32m$，
$16m+16 = 32m$，
$16m=16$，
解得$m = 1$。
当$m + 8=0$，即$m=-8$时，多项式为$12x - 8$，不是二次项，不符合完全平方式（二次三项式）的要求，舍去。
综上，$m$的值为$1$。