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1. 春节期间,某家庭群的人约定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包。若此次抢红包活动中,群内所有人共收到90个红包,则该群一共有(
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
B
)A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
答案
B
解析
设该群一共有$n$人。
每人发一个红包，自己不能抢自己的，故每人抢$n - 1$个红包。
所有人共收到$n(n - 1)$个红包，依题意有：
$n(n - 1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
解得$n = 10$或$n = -9$（人数不能为负，舍去）
该群一共有10人。
B
每人发一个红包，自己不能抢自己的，故每人抢$n - 1$个红包。
所有人共收到$n(n - 1)$个红包，依题意有：
$n(n - 1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
解得$n = 10$或$n = -9$（人数不能为负，舍去）
该群一共有10人。
B
2. 两个连续偶数之积为168,则这两个连续偶数之和为(
A.26
B.-26
C.±26
D.以上都不对
C
)A.26
B.-26
C.±26
D.以上都不对
答案
C
解析
设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x + 2$。
由题意得：$x(x + 2) = 168$
整理得：$x^2 + 2x - 168 = 0$
因式分解得：$(x + 14)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = -14$，$x_2 = 12$
当$x = -14$时，两数之和为$-14 + (-12) = -26$
当$x = 12$时，两数之和为$12 + 14 = 26$
综上，这两个连续偶数之和为$\pm26$
C
由题意得：$x(x + 2) = 168$
整理得：$x^2 + 2x - 168 = 0$
因式分解得：$(x + 14)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = -14$，$x_2 = 12$
当$x = -14$时，两数之和为$-14 + (-12) = -26$
当$x = 12$时，两数之和为$12 + 14 = 26$
综上，这两个连续偶数之和为$\pm26$
C
3. 某校进行体操队列训练,原有8行10列,后增加40人,使得队伍增加的行数、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了$x$行或列,则列方程得(
A.$(8 - x)(10 - x) = 8×10 - 40$
B.$(8 - x)(10 - x) = 8×10 + 40$
C.$(8 + x)(10 + x) = 8×10 - 40$
D.$(8 + x)(10 + x) = 8×10 + 40$
D
)A.$(8 - x)(10 - x) = 8×10 - 40$
B.$(8 - x)(10 - x) = 8×10 + 40$
C.$(8 + x)(10 + x) = 8×10 - 40$
D.$(8 + x)(10 + x) = 8×10 + 40$
答案
D
解析
设增加了$x$行或列，原有队列人数为$8×10$，增加人数后总人数为$8×10 + 40$，此时队列行数为$8 + x$，列数为$10 + x$，则总人数也可表示为$(8 + x)(10 + x)$，故方程为$(8 + x)(10 + x)=8×10 + 40$。
D
D
4. 平面上不重合的两点确定一条直线,不同的三点最多可确定3条直线。若平面上不同的$n$个点最多可确定21条直线,则$n$的值为(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C
解析
平面上不同的$n$个点，每两个点确定一条直线，最多可确定的直线条数为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
由题意得$\frac{n(n - 1)}{2}=21$，
整理得$n(n - 1)=42$，
即$n^2 - n - 42=0$，
因式分解得$(n - 7)(n + 6)=0$，
解得$n=7$或$n=-6$（舍去），
所以$n=7$。
C
由题意得$\frac{n(n - 1)}{2}=21$，
整理得$n(n - 1)=42$，
即$n^2 - n - 42=0$，
因式分解得$(n - 7)(n + 6)=0$，
解得$n=7$或$n=-6$（舍去），
所以$n=7$。
C
5. 一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后,用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是
20
L。答案
20
解析
设每次倒出的液体是$x$L。
第一次倒出$x$L纯药液后，容器内剩余纯药液$(40 - x)$L，用水加满后，药液浓度为$\frac{40 - x}{40}$。
第二次倒出$x$L溶液，其中含纯药液$x \cdot \frac{40 - x}{40}$L，此时容器内剩余纯药液为：
$40 - x - x \cdot \frac{40 - x}{40} = 10$
化简得：
$(40 - x)\left(1 - \frac{x}{40}\right) = 10$
$(40 - x)\left(\frac{40 - x}{40}\right) = 10$
$\frac{(40 - x)^2}{40} = 10$
$(40 - x)^2 = 400$
$40 - x = \pm 20$
解得$x = 20$或$x = 60$（$x = 60$不合题意，舍去）
20
第一次倒出$x$L纯药液后，容器内剩余纯药液$(40 - x)$L，用水加满后，药液浓度为$\frac{40 - x}{40}$。
第二次倒出$x$L溶液，其中含纯药液$x \cdot \frac{40 - x}{40}$L，此时容器内剩余纯药液为：
$40 - x - x \cdot \frac{40 - x}{40} = 10$
化简得：
$(40 - x)\left(1 - \frac{x}{40}\right) = 10$
$(40 - x)\left(\frac{40 - x}{40}\right) = 10$
$\frac{(40 - x)^2}{40} = 10$
$(40 - x)^2 = 400$
$40 - x = \pm 20$
解得$x = 20$或$x = 60$（$x = 60$不合题意，舍去）
20
6. 某生物实验室需培育一群有益菌。现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌。
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌？
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌？
答案
(1)19个
(2)480000个
7. 如图21-3-1-1是2021年12月的日历,在此日历上可以用一个矩形圈出$3×3$个位置的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22)。若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为(
图21-3-1-1
A.32
B.126
C.135
D.144
D
)图21-3-1-1
A.32
B.126
C.135
D.144
答案
D
解析
设最小数为$x$，则最大数为$x + 16$。
由题意得：$x(x + 16) = 192$
$x^2 + 16x - 192 = 0$
$(x + 24)(x - 8) = 0$
解得$x = 8$（$x = -24$舍去）
9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24
和为$8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24 = 144$
D
由题意得：$x(x + 16) = 192$
$x^2 + 16x - 192 = 0$
$(x + 24)(x - 8) = 0$
解得$x = 8$（$x = -24$舍去）
9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24
和为$8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24 = 144$
D
8. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,且该电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有16台电脑被感染。
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制,多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制,多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？
答案
(1)3台
(2)
∵n轮后,有$(1+x)^n$台电脑被感染,故$(1+3)^n=4^n$,
∵n=3时,$4^3=64＜101$;n=4时,$4^4=256＞101$。答:4轮感染后机房内所有电脑都被感染。
