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7. 某河堤的横断面如图所示,堤高$BC是5\mathrm{m}$,斜坡$AB的长是13\mathrm{m}$,那么斜坡$AB$的坡度是(
A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$
C
)A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$
答案
C
解析
在直角三角形$ABC$中，$BC = 5\,m$，$AB=13\,m$。由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\,m$。坡度为$\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}=1:2.4$。
C
C
8. 如图,在热气球$C处测得地面A$,$B两点的俯角分别为30^{\circ}和45^{\circ}$,热气球$C的高度CD为100\mathrm{m}$,点$A$,$D$,$B$在同一条直线上,则$AB$两点的距离是(
A.$200\mathrm{m}$
B.$200\sqrt{3}\mathrm{m}$
C.$220\sqrt{3}\mathrm{m}$
D.$100(\sqrt{3} + 1)\mathrm{m}$
D
)A.$200\mathrm{m}$
B.$200\sqrt{3}\mathrm{m}$
C.$220\sqrt{3}\mathrm{m}$
D.$100(\sqrt{3} + 1)\mathrm{m}$
答案
D
解析
解：由题意知，$CD \perp AB$，$CD=100\mathrm{m}$，$\angle CAD=30°$，$\angle CBD=45°$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan 30°=\frac{CD}{AD}=\frac{100}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AD=100\sqrt{3}\mathrm{m}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\tan 45°=\frac{CD}{BD}=\frac{100}{BD}=1$，解得$BD=100\mathrm{m}$。
则$AB=AD+BD=100\sqrt{3}+100=100(\sqrt{3}+1)\mathrm{m}$。
D
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan 30°=\frac{CD}{AD}=\frac{100}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AD=100\sqrt{3}\mathrm{m}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\tan 45°=\frac{CD}{BD}=\frac{100}{BD}=1$，解得$BD=100\mathrm{m}$。
则$AB=AD+BD=100\sqrt{3}+100=100(\sqrt{3}+1)\mathrm{m}$。
D
9. 某时刻海上点$P$处有一客轮,测得灯塔$A位于客轮的北偏东30^{\circ}$方向上,且与客轮相距$20$海里。客轮以$60$海里/小时的速度沿北偏西$60^{\circ}方向航行\frac{2}{3}\mathrm{h}到达点B$处,那么$\tan \angle ABP$的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
A
解析
由题意得，$\angle APB=90°$，$PA=20$海里，$PB=60×\frac{2}{3}=40$海里。
在$Rt\triangle APB$中，$\tan\angle ABP=\frac{PA}{PB}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$。
A
在$Rt\triangle APB$中，$\tan\angle ABP=\frac{PA}{PB}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$。
A
10. 身高相等的四名学生甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则四名学生所放的风筝中最高的是(
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| 放出风筝的线长/m | 140 | 100 | 95 | 90 |
| 线与地面的夹角 | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ |
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
)| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| 放出风筝的线长/m | 140 | 100 | 95 | 90 |
| 线与地面的夹角 | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ |
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
甲：$140×\sin30°=140×\frac{1}{2}=70$
乙：$100×\sin45°=100×\frac{\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}\approx70.71$
丙：$95×\sin45°=95×\frac{\sqrt{2}}{2}=47.5\sqrt{2}\approx67.18$
丁：$90×\sin60°=90×\frac{\sqrt{3}}{2}=45\sqrt{3}\approx77.94$
$77.94＞70.71＞70＞67.18$，最高的是丁。
D
乙：$100×\sin45°=100×\frac{\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}\approx70.71$
丙：$95×\sin45°=95×\frac{\sqrt{2}}{2}=47.5\sqrt{2}\approx67.18$
丁：$90×\sin60°=90×\frac{\sqrt{3}}{2}=45\sqrt{3}\approx77.94$
$77.94＞70.71＞70＞67.18$，最高的是丁。
D
11. 如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为$18\mathrm{cm}$,深为$30\mathrm{cm}$,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为$A$,斜坡的起点为$C$,现设计斜坡$BC的坡度i = 1:5$,则$AC$的长度是
210
$\mathrm{cm}$。答案
210
解析
三级台阶的高度为$3×18 = 54\,cm$，水平总深度为$3×30=90\,cm$。
设斜坡$BC$的铅直高度为$h\,cm$，水平宽度为$l\,cm$，已知坡度$i = 1:5$，即$\frac{h}{l}=\frac{1}{5}$。
因为台阶高度与斜坡铅直高度相等，所以$h = 54\,cm$，则$l=5h=5×54 = 270\,cm$。
$AC$的长度为斜坡水平宽度减去台阶水平总深度，即$AC=l - 90=270 - 90=180\,cm$。
$180$
设斜坡$BC$的铅直高度为$h\,cm$，水平宽度为$l\,cm$，已知坡度$i = 1:5$，即$\frac{h}{l}=\frac{1}{5}$。
因为台阶高度与斜坡铅直高度相等，所以$h = 54\,cm$，则$l=5h=5×54 = 270\,cm$。
$AC$的长度为斜坡水平宽度减去台阶水平总深度，即$AC=l - 90=270 - 90=180\,cm$。
$180$
12. 如图,在高出海平面$100\mathrm{m}的悬崖A$处,观测海平面上一艘小船$B$,并测得它的俯角为$45^{\circ}$,则船与观测者之间的水平距离$BC = $
100
$\mathrm{m}$。答案
100
解析
解：由题意知，$AC=100\mathrm{m}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，$\angle ACB=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}$。
即$\tan45^{\circ}=\frac{100}{BC}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，所以$BC=100\mathrm{m}$。
100
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}$。
即$\tan45^{\circ}=\frac{100}{BC}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，所以$BC=100\mathrm{m}$。
100
