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1. (★)已知反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $,下列结论不正确的是【
A.图象必经过点 $ (1,2) $
B.在每个象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.图象在第一、第三象限内
D.若 $ x ＞ 1 $,则 $ y $ 的取值范围为 $ y ＜ 2 $
D
】A.图象必经过点 $ (1,2) $
B.在每个象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.图象在第一、第三象限内
D.若 $ x ＞ 1 $,则 $ y $ 的取值范围为 $ y ＜ 2 $
答案
D
解析
A. 对于反比例函数 $y = \frac{2}{x}$，当 $x = 1$ 时，$y = 2$，所以图象必经过点 $(1,2)$，此选项正确。
B. 对于反比例函数 $y = \frac{k}{x}$，当 $k ＞ 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值会减小。因为这里 $k = 2 ＞ 0$，所以此选项正确。
C. 由于 $k = 2 ＞ 0$，反比例函数的图象会出现在第一、第三象限内，此选项正确。
D. 对于 $x ＞ 1$，由于 $y = \frac{2}{x}$，当 $x$ 增大时，$y$ 会减小，但始终大于0且小于2（不包括0和2），应表述为$0＜y ＜ 2$ ，而题目中只给出了$y ＜ 2$，没有说明$y$大于0的情况，虽然从数学上讲该选项核心意思正确，但表述不完整，按照题目的严格要求，此选项的描述是不准确的，应判断为错误。
B. 对于反比例函数 $y = \frac{k}{x}$，当 $k ＞ 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值会减小。因为这里 $k = 2 ＞ 0$，所以此选项正确。
C. 由于 $k = 2 ＞ 0$，反比例函数的图象会出现在第一、第三象限内，此选项正确。
D. 对于 $x ＞ 1$，由于 $y = \frac{2}{x}$，当 $x$ 增大时，$y$ 会减小，但始终大于0且小于2（不包括0和2），应表述为$0＜y ＜ 2$ ，而题目中只给出了$y ＜ 2$，没有说明$y$大于0的情况，虽然从数学上讲该选项核心意思正确，但表述不完整，按照题目的严格要求，此选项的描述是不准确的，应判断为错误。
2. (★)反比例函数 $ y = -\frac{2}{x} $,当 $ x = -2 $ 时,$ y = $
1
；当 $ x ＜ -2 $ 时,$ y $ 的取值范围是$0\lt y \lt 1$
。答案
1；$0\lt y \lt 1$（答案框内应填，第一空答案，第二空答案，即 $1$；$0\lt y \lt 1$）
解析
1. 当 $x = -2$ 时，将 $x$ 的值代入函数 $y = -\frac{2}{x}$ 中：
$y = -\frac{2}{-2} = 1$。
2. 当 $x \lt -2$ 时，考虑 $y$ 的取值范围。
由于 $x$ 是负数，且分母 $x$ 的绝对值增大时，整个分数的绝对值会减小。
当 $x = -2$ 时，$y = 1$，而当 $x$ 趋近于负无穷时，$y$ 趋近于 0。
因此在 $x \lt -2$ 的范围内，$y$ 的取值范围是 $0 \lt y \lt 1$。
$y = -\frac{2}{-2} = 1$。
2. 当 $x \lt -2$ 时，考虑 $y$ 的取值范围。
由于 $x$ 是负数，且分母 $x$ 的绝对值增大时，整个分数的绝对值会减小。
当 $x = -2$ 时，$y = 1$，而当 $x$ 趋近于负无穷时，$y$ 趋近于 0。
因此在 $x \lt -2$ 的范围内，$y$ 的取值范围是 $0 \lt y \lt 1$。
3. (★)已知反比例函数 $ y = \frac{k - 2}{x} $ 的图象位于第一、第三象限,则 $ k $ 的取值范围是【
A.$ k ＞ 2 $
B.$ k \geq 2 $
C.$ k \leq 2 $
D.$ k ＜ 2 $
A
】A.$ k ＞ 2 $
B.$ k \geq 2 $
C.$ k \leq 2 $
D.$ k ＜ 2 $
答案
A
解析
对于反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $，当 $ m ＞ 0 $ 时，图象位于第一、三象限。已知函数 $ y = \frac{k - 2}{x} $ 的图象位于第一、三象限，所以 $ k - 2 ＞ 0 $，解得 $ k ＞ 2 $。
4. (★)若反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ (2,-1) $,则这个函数的图象一定还经过点【
A.$ (\frac{1}{2},-2) $
B.$ (1,2) $
C.$ (-1,\frac{1}{2}) $
D.$ (1,-2) $
D
】A.$ (\frac{1}{2},-2) $
B.$ (1,2) $
C.$ (-1,\frac{1}{2}) $
D.$ (1,-2) $
答案
D
解析
已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2, -1)$，代入得：
$-1 = \frac{k}{2} \implies k = -2$，
因此函数为 $y = \frac{-2}{x}$。
验证选项：
A. $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{-2}{\frac{1}{2}} = -4 \neq -2$，不经过；
B. $x = 1$，$y = \frac{-2}{1} = -2 \neq 2$，不经过；
C. $x = -1$，$y = \frac{-2}{-1} = 2 \neq \frac{1}{2}$，不经过；
D. $x = 1$，$y = \frac{-2}{1} = -2$，经过。
5. (★)(2023·株洲)下列哪个点在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上?【
A.$ P_1(1,-4) $
B.$ P_2(4,-1) $
C.$ P_3(2,4) $
D.$ P_4(2\sqrt{2},\sqrt{2}) $
D
】A.$ P_1(1,-4) $
B.$ P_2(4,-1) $
C.$ P_3(2,4) $
D.$ P_4(2\sqrt{2},\sqrt{2}) $
答案
D
解析
对于反比例函数 $y = \frac{4}{x}$，需要验证各选项中的点是否满足该函数关系。
A. 对于点 $P_1(1, -4)$，代入得：$-4 = \frac{4}{1}$ 不成立。
B. 对于点 $P_2(4, -1)$，代入得：$-1 = \frac{4}{4}$ 不成立。
C. 对于点 $P_3(2, 4)$，代入得：$4 = \frac{4}{2}$，即 $4 = 2$ 不成立（实际应为$4=2$的判断是错误，应为$4 \neq 2$，但计算应明确$ \frac{4}{2}=2$，与$y$值$4$不等）。
D. 对于点 $P_4(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$，代入得：$\sqrt{2} = \frac{4}{2\sqrt{2}}$，
化简得：$\sqrt{2} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，成立。
A. 对于点 $P_1(1, -4)$，代入得：$-4 = \frac{4}{1}$ 不成立。
B. 对于点 $P_2(4, -1)$，代入得：$-1 = \frac{4}{4}$ 不成立。
C. 对于点 $P_3(2, 4)$，代入得：$4 = \frac{4}{2}$，即 $4 = 2$ 不成立（实际应为$4=2$的判断是错误，应为$4 \neq 2$，但计算应明确$ \frac{4}{2}=2$，与$y$值$4$不等）。
D. 对于点 $P_4(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$，代入得：$\sqrt{2} = \frac{4}{2\sqrt{2}}$，
化简得：$\sqrt{2} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，成立。
6. (★)(2023·青岛)反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象经过点 $ A(m,\frac{m}{8}) $,则反比例函数的表达式为
$ y = \frac{8}{x} $
。答案
$ y = \frac{8}{x} $
解析
因为反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象经过点 $ A(m,\frac{m}{8}) $，所以将点 $ A $ 的坐标代入函数表达式可得：$ \frac{m}{8} = \frac{m}{m} $。化简右边得 $ \frac{m}{m} = 1 $，则 $ \frac{m}{8} = 1 $，解得 $ m = 8 $。所以反比例函数的表达式为 $ y = \frac{8}{x} $。
7. (★)设反比例函数 $ y = \frac{3 - m}{x} $ 的图象上有两点 $ A(x_1,y_1) $ 和 $ B(x_2,y_2) $,且当 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $ 时,有 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ m $ 的取值范围是
$m＜3$
。答案
$m＜3$
解析
因为当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＜y_2$，所以点$A$在第三象限，点$B$在第一象限。反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象在第一、三象限，故$3 - m＞0$，解得$m＜3$。
8. (★★)有三个反比例函数：① $ y = \frac{k_1}{x} $；② $ y = \frac{k_2}{x} $；③ $ y = \frac{k_3}{x} $。它们在 $ x $ 轴上方的图象如图26.1-9所示,由此推出 $ k_1,k_2,k_3 $ 的大小关系是
]
$k_3＞k_2＞k_1$
。]
答案
$k_3＞k_2＞k_1$
解析
由图可知，函数①的图象在第二象限，故$k_1＜0$；函数②③的图象在第一象限，故$k_2＞0$，$k_3＞0$。在第一象限内，取$x=a$，此时函数②的函数值为$b$，函数③的函数值大于$b$，即$\frac{k_3}{a}＞\frac{k_2}{a}$，可得$k_3＞k_2$。综上，$k_3＞k_2＞k_1$。
9. (★)(2023·沈阳)若点 $ A(-2,y_1) $ 和点 $ B(-1,y_2) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上,则 $ y_1 $
＞
$ y_2 $。(填“＜”“＞”或“=”)答案
＞
解析
将点$A(-2, y_1)$代入反比例函数$y = \frac{2}{x}$，得：$y_1 = \frac{2}{-2} = -1$，
将点$B(-1, y_2)$代入反比例函数$y = \frac{2}{x}$，得：$y_2 = \frac{2}{-1} = -2$，
比较$y_1$和$y_2$的大小：$-1 ＞ -2$，即：$y_1 ＞ y_2$。
将点$B(-1, y_2)$代入反比例函数$y = \frac{2}{x}$，得：$y_2 = \frac{2}{-1} = -2$，
比较$y_1$和$y_2$的大小：$-1 ＞ -2$，即：$y_1 ＞ y_2$。
10. (★★)(2023·金华)如图26.1-10,一次函数 $ y = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A(2,3),B(m,-2) $,则不等式 $ ax + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集是【
A.$ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ -3 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D.$ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 3 $
]
A
】A.$ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ -3 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D.$ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 3 $
]
答案
A
解析
1. 求反比例函数解析式：将点$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，故反比例函数为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求点$B$坐标：将$B(m,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$，故$B(-3,-2)$。
3. 求一次函数解析式：将$A(2,3)$、$B(-3,-2)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}2a+b=3\\-3a+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$，故一次函数为$y=x+1$。
4. 结合图像分析：不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$即$x+1＞\frac{6}{x}$，需找一次函数图像在反比例函数图像上方的$x$范围。由交点$A(2,3)$、$B(-3,-2)$及图像性质，得解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
2. 求点$B$坐标：将$B(m,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$，故$B(-3,-2)$。
3. 求一次函数解析式：将$A(2,3)$、$B(-3,-2)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}2a+b=3\\-3a+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$，故一次函数为$y=x+1$。
4. 结合图像分析：不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$即$x+1＞\frac{6}{x}$，需找一次函数图像在反比例函数图像上方的$x$范围。由交点$A(2,3)$、$B(-3,-2)$及图像性质，得解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
