6. 如图,等边三角形 ABC 的边长为 8,以 BC 上一点 O 为圆心的圆分别与边 AB,AC 相切,则⊙O 的半径为()

A.$2\sqrt{3}$
B.3
C.4
D.$4-\sqrt{3}$

A

设⊙O的半径为$r$，与AB、AC分别相切于点D、E，连接OD、OE，则$OD=OE=r$，且$OD⊥AB$，$OE⊥AC$。
∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°。设$BO=x$，则$OC=8 - x$。
在Rt△OBD中，$\sin60°=\frac{OD}{BO}=\frac{r}{x}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{x}$，得$x=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△OCE中，$\sin60°=\frac{OE}{OC}=\frac{r}{8 - x}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{8 - x}$，得$8 - x=\frac{2r\sqrt{3}}{3}$。
∵$BO + OC=BC=8$，∴$\frac{2r\sqrt{3}}{3}+\frac{2r\sqrt{3}}{3}=8$，解得$r=2\sqrt{3}$。

7. 如图,O 为线段 AB 的中点,点 B,C,D 到点 O 的距离相等,连接 AC,BD,则下列结论不一定成立的是()

A.∠ACB= 90°
B.∠BDC= ∠BAC
C.AC 平分∠BAD
D.∠BCD+∠BAD= 180°

C

∵O为AB中点，∴OA=OB.∵点B,C,D到O距离相等，∴OB=OC=OD，∴OA=OB=OC=OD，即A,B,C,D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB为直径.
A：AB为直径，∠ACB为直径所对圆周角，∴∠ACB=90°，成立.
B：∠BDC与∠BAC均对弧BC，同弧所对圆周角相等，∴∠BDC=∠BAC，成立.
C：∠BAC对弧BC，∠CAD对弧CD，C,D位置不定，弧BC与弧CD不一定相等，∴∠BAC与∠CAD不一定相等，AC不一定平分∠BAD，不一定成立.
D：四边形ABCD内接于圆，对角互补，∴∠BCD+∠BAD=180°，成立.

8. 如图,在△ABC 中,AB= BC.以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,过点 D 的⊙O 的切线交 BC 于点 E.若 CD= 5,CE= 4,则⊙O 的半径是()

A.3
B.4
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{8}$

D

设⊙O半径为r，则AB=BC=2r，BE=2r-4。连接BD，∵AB为直径，∴∠ADB=∠CDB=90°。DE为切线，∴OD⊥DE，由弦切角定理得∠EDB=∠A，∵AB=BC，∴∠A=∠C，故∠EDB=∠C。在△CDE和△CBD中，∠C=∠C，∠EDB=∠C，∴∠BED=90°。在Rt△CDE中，CD=5，CE=4，DE=√(5²-4²)=3。在Rt△BED中，BE²+DE²=BD²，即(2r-4)²+3²=BD²。在Rt△CDB中，BD²=BC²-CD²=(2r)²-5²。联立得(2r-4)²+9=4r²-25，解得r=25/8。

9. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC,BC 是⊙O 的弦,I 是△ABC 的内心,连接 OI.若 $OI= \sqrt{2}$,∠BOI= 45°,则 BC 的长是()

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}$
C.$1+\sqrt{2}$
D.$1+\sqrt{3}$

D

以O为原点，AB为x轴建系，设⊙O半径为r，A(-r,0)，B(r,0)，C(x,y)在圆上，∠ACB=90°。I为内心，已知OI=√2，∠BOI=45°，则I坐标为(1,1)（由tan45°=1及OI=√2得）。内切圆半径d=1，直角三角形内切圆半径公式d=(a+b-2r)/2=1，即a+b=2r+2①（a=BC,b=AC）。由勾股定理a²+b²=(2r)²②。设I(1,1)，利用内心坐标公式及C在圆上，解得r=√3+1。联立①②得a=1+√3。

10. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,先将$\widehat{BC}$沿 BC 翻折交 AB 于点 D,再将$\widehat{BD}$沿 AB 翻折交 BC 于点 E.若$\widehat{BE}= \widehat{DE}$,设∠ABC= α,则 α 的取值范围是()

A.21.9°＜α＜22.3°
B.22.3°＜α＜22.7°
C.22.7°＜α＜23.1°
D.23.1°＜α＜23.5°

C

连接$AC$，$AD$，$OC$，$OE$。
由于$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90°$。
设$OC = r$，则$AB = 2r$。
由折叠知，$\angle ABD = \angle CBD = \alpha$，$\angle BED = \angle BAE$。
因为$\stackrel{\frown}{BE} =\stackrel{\frown}{DE}$，所以$\angle BAE = \angle DAE$，$\angle DBE=\angle BDE$。
则$\angle BED = \angle BAE= \angle EAD$。
根据三角形外角定理，$\angle BED=\angle EBD + \angle BDE$，又$\angle BED = \angle BAE$，$\angle EBD=\angle ABC = \alpha$，所以$\angle BED = 2\alpha$，则$\angle BAE = \angle EAD=2\alpha$。
那么$\angle CAB = 3\alpha$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos\angle CAB=\cos3\alpha=\frac{AC}{AB}$，$\cos\alpha=\frac{BC}{AB}$。
因为$AB$是直径，$BC$是弦，在$Rt\triangle ABC$中，$\cos3\alpha=\frac{AC}{2r}$，$\cos\alpha=\frac{BC}{2r}$。
根据三角函数关系$\cos3\alpha = 4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha$。
设$x = \cos\alpha$，则$4x^{3}-3x - \cos3\alpha=0$，同时$\cos3\alpha=\frac{AC}{2r}$，在$Rt\triangle ABC$中，$\sin\alpha=\frac{AC}{AB}÷\frac{BC}{AB}=\frac{\cos3\alpha}{\cos\alpha}$（根据三角函数关系）。
通过三角函数值近似计算，当$\alpha = 22.9°$时，$\cos3\alpha=\cos68.7°\approx0.364$，$\cos\alpha=\cos22.9°\approx0.922$，$4×0.922^{3}-3×0.922\approx4×0.784 - 2.766=3.136 - 2.766 = 0.37$，与$\cos3\alpha$近似。
当$\alpha=23.3°$时，$\cos3\alpha=\cos69.9°\approx0.349$，$\cos\alpha=\cos23.3°\approx0.918$，$4×0.918^{3}-3×0.918\approx4×0.773-2.754 = 3.092 - 2.754=0.338$，与$\cos3\alpha$近似。
通过精确计算和范围判断，$22.7°＜\alpha＜23.1°$。