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13. 如图,在△ABC 中,AB= AC= 5,BC= 6,AD 是△ABC 的角平分线. 把△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△AEF,点 B 的对应点是 E,则点 D 与点 F 之间的距离是
4√2
.答案
4√2
解析
∵AB=AC，AD是角平分线，BC=6，
∴AD⊥BC，BD=DC=3（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
由勾股定理得：AD=√(AB²-BD²)=√(5²-3²)=4。
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得△AEF，
∴AF=AD=4，∠DAF=90°（旋转性质：对应边相等，旋转角为90°）。
在Rt△ADF中，AD=AF=4，∠DAF=90°，
∴DF=√(AD²+AF²)=√(4²+4²)=4√2。
14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠BAC= 60°,AB= 6. Rt△AB'C'可以看作是由 Rt△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°得到的,则线段 B'C 的长为
3√7
.答案
3√7
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，∴∠ABC=30°，AC=AB/2=3。
由旋转性质，AB'=AB=6，∠BAB'=60°，故∠B'AC=∠BAC+∠BAB'=60°+60°=120°。
过C作CD⊥AB'交AB'延长线于D，∠ADC=90°，∠CAD=180°-120°=60°。
在Rt△ADC中，AD=AC·cos60°=3×1/2=3/2，CD=AC·sin60°=3×√3/2=3√3/2。
B'D=AB'+AD=6+3/2=15/2。
在Rt△B'DC中，B'C=√(B'D²+CD²)=√[(15/2)²+(3√3/2)²]=√(225/4+27/4)=√63=3√7。
由旋转性质，AB'=AB=6，∠BAB'=60°，故∠B'AC=∠BAC+∠BAB'=60°+60°=120°。
过C作CD⊥AB'交AB'延长线于D，∠ADC=90°，∠CAD=180°-120°=60°。
在Rt△ADC中，AD=AC·cos60°=3×1/2=3/2，CD=AC·sin60°=3×√3/2=3√3/2。
B'D=AB'+AD=6+3/2=15/2。
在Rt△B'DC中，B'C=√(B'D²+CD²)=√[(15/2)²+(3√3/2)²]=√(225/4+27/4)=√63=3√7。
15. 如图,△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形,若点 C 恰好落在 AB 上,且∠AOD 的度数为 90°,则∠B 的度数是
60°
.答案
60°
解析
∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°得到的图形，∴OA=OC，∠AOC=∠BOD=40°，∠AOB=∠COD。
∵OA=OC，∴△OAC是等腰三角形，∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵∠AOD=90°，∠AOD=∠AOC+∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°，故∠AOB=∠COD=50°。
在△AOB中，∠OAB=∠OAC=70°，∠AOB=50°，∴∠B=180°-∠OAB-∠AOB=180°-70°-50°=60°。
∵OA=OC，∴△OAC是等腰三角形，∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵∠AOD=90°，∠AOD=∠AOC+∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°，故∠AOB=∠COD=50°。
在△AOB中，∠OAB=∠OAC=70°，∠AOB=50°，∴∠B=180°-∠OAB-∠AOB=180°-70°-50°=60°。
16. 如图,E 是正方形 ABCD 内的一点,将△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,得到△CBF,连接 EF,交 BC 于点 G. 若∠ABE= 55°,则∠EGC 的度数为
80°
.答案
80°
解析
由旋转性质得△ABE≌△CBF，故BE=BF，∠EBF=90°，∠CBF=∠ABE=55°。△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=∠BFE=45°。在正方形ABCD中，∠ABC=90°，则∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-55°=35°。在△BEG中，∠EGC为外角，∠EGC=∠EBG+∠BEG=35°+45°=80°。
17. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= BC= √2. 将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°,得到△MNC,连接 BM,则 BM 的长是
√3 + 1
.答案
√3 + 1
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=√2，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=2。将△ABC绕点C逆时针旋转60°得△MNC，根据旋转性质：CM=CA=2，∠ACM=60°，CN=CB=√2，∠MCN=∠ACB=45°。
连接BN，因CN=CB，∠BCN=60°（旋转角），故△BCN为等边三角形，BN=BC=√2，∠CBN=60°。
△MNC中，∠MNC=∠ABC=90°，MN=AB=√2。在△MNB中，MN=√2，BN=√2，∠MNB=∠MNC+∠CNB=90°+60°=150°。
由余弦定理：BM²=MN²+BN²-2·MN·BN·cos150°= (√2)²+(√2)²-2×√2×√2×(-√3/2)=2+2+2√3=4+2√3，故BM=√(4+2√3)=√3+1。
连接BN，因CN=CB，∠BCN=60°（旋转角），故△BCN为等边三角形，BN=BC=√2，∠CBN=60°。
△MNC中，∠MNC=∠ABC=90°，MN=AB=√2。在△MNB中，MN=√2，BN=√2，∠MNB=∠MNC+∠CNB=90°+60°=150°。
由余弦定理：BM²=MN²+BN²-2·MN·BN·cos150°= (√2)²+(√2)²-2×√2×√2×(-√3/2)=2+2+2√3=4+2√3，故BM=√(4+2√3)=√3+1。
18. 如图,在△ABC 中,已知∠C= 90°,∠B= 55°,点 D 在边 BC 上,BD= 2CD. 把△ABC 绕点 D 逆时针旋转 m°(0＜m＜180)后,如果点 B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边上,那么 m 的值为
70或120
.答案
70或120
解析
设CD=x，则BD=2x，BC=3x，旋转后DB'=DB=2x。
情况1：B'落在AC边上
在Rt△DCB'中，DC=x，DB'=2x，∠C=90°，则cos∠CDB'=DC/DB'=x/(2x)=1/2，∠CDB'=60°。旋转角m=∠BDB'=180°-60°=120°。
情况2：B'落在AB边上
由旋转性质DB'=2x，坐标法得B'(x(1+2cosm),2x sinm)。AB方程：y=(-b/(3x))x'+b，代入得2x sinm=(2b/3)(1-cosm)。结合tan55°=b/(3x)，化简得sin(m+55°)=sin55°，解得m=70°。
综上，m=70或120。
情况1：B'落在AC边上
在Rt△DCB'中，DC=x，DB'=2x，∠C=90°，则cos∠CDB'=DC/DB'=x/(2x)=1/2，∠CDB'=60°。旋转角m=∠BDB'=180°-60°=120°。
情况2：B'落在AB边上
由旋转性质DB'=2x，坐标法得B'(x(1+2cosm),2x sinm)。AB方程：y=(-b/(3x))x'+b，代入得2x sinm=(2b/3)(1-cosm)。结合tan55°=b/(3x)，化简得sin(m+55°)=sin55°，解得m=70°。
综上，m=70或120。
