拓展提升
如图,将边长为4的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E,F分别在边AB,CD上),使点B落在边AD上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P.设AM= x.
(1)求AE的长.(用含x的式子表示)
(2)△PDM的周长是否发生变化？请用相似的知识说明理由.
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(1) 设 $ AE = y $，则 $ BE = 4 - y $。由折叠性质得 $ ME = BE = 4 - y $。在 $ Rt\triangle AEM $ 中，$ AM = x $，根据勾股定理：$ AE^2 + AM^2 = ME^2 $，即 $ y^2 + x^2 = (4 - y)^2 $。展开得 $ y^2 + x^2 = 16 - 8y + y^2 $，化简得 $ x^2 = 16 - 8y $，解得 $ y = \frac{16 - x^2}{8} $。故 $ AE = \frac{16 - x^2}{8} $。
(2) △PDM的周长不变。理由如下：
由正方形性质知 $ \angle A = \angle D = 90° $，$ DM = AD - AM = 4 - x $。折叠后 $ \angle EMN = 90° $，故 $ \angle AME + \angle PMD = 90° $。又 $ \angle AEM + \angle AME = 90° $，则 $ \angle AEM = \angle PMD $，所以 $ \triangle AEM \sim \triangle DMP $（AA相似）。
设 $ PD = a $，$ PM = b $，由(1)得 $ AE = \frac{16 - x^2}{8} $，$ EM = \frac{16 + x^2}{8} $。相似比 $ \frac{AE}{DM} = \frac{AM}{DP} $，即 $ \frac{\frac{16 - x^2}{8}}{4 - x} = \frac{x}{a} $，化简得 $ \frac{4 + x}{8} = \frac{x}{a} $，解得 $ a = \frac{8x}{4 + x} $。
由 $ \frac{AM}{DP} = \frac{EM}{PM} $，得 $ \frac{x}{a} = \frac{EM}{b} $，解得 $ b = \frac{16 + x^2}{4 + x} $。
△PDM周长为 $ PD + DM + PM = \frac{8x}{4 + x} + (4 - x) + \frac{16 + x^2}{4 + x} $，化简得 $ \frac{8(x + 4)}{x + 4} = 8 $，为定值。故周长不变。
(1) $ AE = \frac{16 - x^2}{8} $
(2) △PDM的周长不变，周长为8。