20. (本小题8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$AE是边BC$上的中线,$AB= 10$,$AD= 6$,$\tan\angle ACB= 1$.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin\angle DAE$的值.

(1)
因为$AD\perp BC$，所以$\triangle ADC$是直角三角形。
在$Rt\triangle ADC$中，$\tan\angle ACB = 1$，$\tan\angle ACB=\frac{AD}{DC}$，$AD = 6$，则$\frac{6}{DC}=1$，解得$DC = 6$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 10$，$AD = 6$，根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，可得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
所以$BC=BD + DC=8 + 6=14$。
(2)
因为$AE$是$BC$边上的中线，所以$BE=\frac{1}{2}BC = 7$。
又因为$BD = 8$，所以$DE=BD - BE=8 - 7 = 1$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 6$，$DE = 1$，根据勾股定理$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{36 + 1}=\sqrt{37}$。
则$\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
综上，(1) $BC$的长为$14$；(2) $\sin\angle DAE$的值为$\frac{\sqrt{37}}{37}$。

21. (本小题8分)如图,$A$,$B$,$C是\odot O$上的点,$\sin A= \frac{4}{5}$,$\odot O$的半径为5,求$BC$的长.

8

连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D。
∵OD⊥BC，∴BD=DC=BC/2，∠ODB=90°。
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BOC=2∠A。
∵OD⊥BC，∴∠BOD=∠BOC/2=∠A。
在Rt△OBD中，sin∠BOD=BD/OB，
∵sin A=4/5，∠BOD=∠A，OB=5，
∴BD=OB·sin∠BOD=5×4/5=4。
∴BC=2BD=8。