10. 已知关于 x 的一元二次方程 $x^{2}-mx+2m-4= 0$.
(1) 求证:该方程总有两个实数根;
(2) 若该方程有一个根小于 1,求 m 的取值范围.

(1) 证明：对于方程 $x^{2}-mx+2m-4=0$，
判别式 $\Delta = (-m)^2 - 4 × 1 × (2m - 4) = m^2 - 8m + 16 = (m - 4)^2$。
$\because (m - 4)^2 \geq 0$，即 $\Delta \geq 0$，
$\therefore$ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：方程可因式分解为 $(x - 2)(x - (m - 2)) = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = m - 2$。
$\because$ 方程有一个根小于 1，且 $x_1 = 2 \geq 1$，
$\therefore x_2 = m - 2 ＜ 1$，解得 $m ＜ 3$。
$\therefore m$ 的取值范围是 $m ＜ 3$。

拓展提升
若实数 a,b 满足 $\frac{1}{4}a^{2}-ab+b^{2}+a-\frac{1}{2}= 0$,求实数 a 的取值范围.

将原方程$\frac{1}{4}a^{2} - ab + b^{2} + a - \frac{1}{2} = 0$看作关于$b$的二次方程，即$b^{2} - ab + \frac{1}{4}a^{2} + a - \frac{1}{2} = 0$。
因为$b$为实数，所以该二次方程有实数解，则判别式$\Delta = (-a)^{2} - 4×1×(\frac{1}{4}a^{2} + a - \frac{1}{2}) \geq 0$。
展开$\Delta$得：
$\Delta=a^{2} - (a^{2} + 4a - 2)\geq0$。
去括号：$a^{2} - a^{2} - 4a + 2\geq0$。
合并同类项：$-4a + 2\geq0$。
移项得：$4a\leq2$。
解得：$a\leq\frac{1}{2}$。
综上，实数$a$的取值范围是$a\leq\frac{1}{2}$。