2. 分式$\dfrac{3a}{a^{2}-b^{2}}的分母经过通分后变成2(a-b)^{2}(a+b)$,那么分子应变为()
A.$6a(a-b)^{2}(a+b)$
B.$2(a-b)$
C.$6a(a-b)$
D.$6a(a+b)$

C

原分式为$\frac{3a}{a^2 - b^2}$，分母$a^2 - b^2$可分解为$(a - b)(a + b)$。
通分后的分母为$2(a - b)^2(a + b)$，即原分母乘以$2(a - b)$。
根据分式通分规则，分子需乘以相同因式$2(a - b)$，即：
$3a × 2(a - b) = 6a(a - b)$。

1. 下列分式中,属于最简分式的是()
A.$-\dfrac{9y}{12x}$
B.$\dfrac{a+b}{a^{2}+2ab+b^{2}}$
C.$\dfrac{2a-4b}{a^{2}-4b^{2}}$
D.$\dfrac{1-a}{4a^{2}-2a}$

D

A. 对于分式$-\frac{9y}{12x}$，分子和分母都可以被3整除，所以可以约分为$-\frac{3y}{4x}$，因此不是最简分式。
B. 对于分式$\frac{a+b}{a^{2}+2ab+b^{2}}$，分母$a^{2}+2ab+b^{2}$可以因式分解为$(a+b)^{2}$，分子和分母有公因式$a+b$，所以可以约分为$\frac{1}{a+b}$，因此不是最简分式。
C. 对于分式$\frac{2a-4b}{a^{2}-4b^{2}}$，分子可以被2整除，分母$a^{2}-4b^{2}$可以因式分解为$(a+2b)(a-2b)$，提取公因式后，分子为$2(a-2b)$，与分母中的$a-2b$可以约去，得到$\frac{2}{a+2b}$的形（未完全约简，但已存在可约公因式，说明原分式非最简），因此不是最简分式。
D. 对于分式$\frac{1-a}{4a^{2}-2a}$，分子和分母没有公因式可以提取，因此它是最简分式。

2. 在通分$\dfrac{2xy}{x^{2}-y^{2}}与\dfrac{x-y}{x+y}$时,最简公分母是()
A.$x^{2}+y^{2}$
B.$x+y$
C.$(x^{2}-y^{2})(x+y)$
D.$(x-y)(x+y)$

D

首先对给定的两个分式的分母进行因式分解。
第一个分式的分母 $x^{2} - y^{2}$ 可以分解为 $(x + y)(x - y)$，第二个分式的分母为 $x + y$。
最简公分母需要包含所有独立出现的因子，并且每个因子的最高次幂要出现在最简公分母中。
在这里，独立出现的因子有 $x + y$ 和 $x - y$。
因此，最简公分母是这两个因子的乘积，即 $(x + y)(x - y)$。

3. 化简：(1)$\dfrac{2a^{2}b^{3}}{-6a^{3}b^{2}}=$；
(2)$\dfrac{2x+6}{x^{2}-9}=$.

(1)$ - \dfrac{b}{3a} $；(2)$\dfrac{2}{x - 3}$。

(1)首先找出分子的分母的公因式，分子是$2a^{2}b^{3}$，分母是$-6a^{3}b^{2}$，它们的公因式是$2a^{2}b^{2}$，然后进行约分：
$\dfrac{2a^{2}b^{3}}{-6a^{3}b^{2}} = \dfrac{2a^{2}b^{2} \cdot b}{2a^{2}b^{2} \cdot (-3a)} = -\dfrac{b}{3a}$。
(2)首先对分子分母进行因式分解，$2x + 6$可以提取公因数2得到$2(x + 3)$，$x^{2} - 9$是差平方，可以分解为$(x + 3)(x - 3)$，然后进行约分：
$\dfrac{2x+6}{x^{2}-9} = \dfrac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{2}{x - 3}$。

4. (2024·山东济宁中考)已知$a^{2}-2b+1= 0$,则$\dfrac{4b}{a^{2}+1}$的值是 .

2

由$a^{2}-2b + 1 = 0$，得$a^{2}+1=2b$。将$a^{2}+1=2b$代入$\dfrac{4b}{a^{2}+1}$，得$\dfrac{4b}{2b}=2$。

5. 约分：
(1)$\dfrac{24a^{2}b}{-4ab}$；(2)$\dfrac{2a^{2}-ab}{2a^{2}b-ab^{2}}$.

(1)
$\begin{aligned} \dfrac{24a^{2}b}{-4ab} \\= \dfrac{24 ÷ 4 × a^{2-1} × b^{1-1}}{-1} \\= \dfrac{6a}{-1} \\= -6a\mspace{2mu}\end{aligned}$
(2)
首先对分子进行因式分解，得到 $2a^{2} - ab = a(2a - b)$。
然后对分母进行因式分解，得到 $2a^{2}b - ab^{2} = ab(2a - b)$。
$\begin{aligned} \dfrac{2a^{2} - ab}{2a^{2}b - ab^{2}} \\= \dfrac{a(2a - b)}{ab(2a - b)} \\= \dfrac{a}{ab} \\= \dfrac{1}{b}\mspace{2mu}\end{aligned}$

6. 通分：
(1)$\dfrac{3c}{4a^{2}b}与\dfrac{a}{6b^{2}c}$；
(2)$\dfrac{x-2}{x^{2}+2x}与\dfrac{1}{x^{2}+4x+4}$.

(1)最简公分母为$12a^{2}b^{2}c$
$\dfrac{3c}{4a^{2}b}=\dfrac{3c\cdot 3bc}{4a^{2}b\cdot 3bc}=\dfrac{9bc^{2}}{12a^{2}b^{2}c}$
$\dfrac{a}{6b^{2}c}=\dfrac{a\cdot 2a^{2}}{6b^{2}c\cdot 2a^{2}}=\dfrac{2a^{3}}{12a^{2}b^{2}c}$
(2)分母因式分解：$x^{2}+2x=x(x+2)$，$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$，最简公分母为$x(x+2)^{2}$
$\dfrac{x-2}{x^{2}+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)(x+2)}=\dfrac{x^{2}-4}{x(x+2)^{2}}$
$\dfrac{1}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{x}{x(x+2)^{2}}$