11. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ \angle BAC = 30^\circ $,$ E $ 为边 $ AB $ 的中点,以 $ BE $ 为边作等边三角形 $ BDE $,连接 $ AD $,$ CD $.
(1) 求证 $ \triangle ACD $ 为等边三角形；
(2) 若 $ AC = 4 $,在边 $ AC $ 上找一点 $ H $,使得 $ BH + EH $ 最小,并求出这个最小值.

(1) 见证明；(2) 最小值为4。

(1) 证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠ABC=60°，AB=2BC。E为AB中点，故AE=EB=BC。
∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°。
又∵∠ABC=60°，∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，得∠ABD=∠CBE。
在△ABD和△CBE中，AB=CB，∠ABD=∠CBE，BD=BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE。
∵E为Rt△ABC斜边AB中点，∴CE=AE=EB=AB/2=AC·cos30°=AC·(√3/2)，又由∠BAC=30°，AC=AB·cos30°，故AC=AD=CD，∴△ACD为等边三角形。
(2) 作点B关于AC的对称点B'，连接B'E交AC于H，此时BH+EH最小，最小值为B'E的长。
∵AC=4，∠BAC=30°，∴AB=8/√3，BC=4/√3。
E为AB中点，坐标法求得E(2√3/3,2)，B'( -4√3/3,0)。
B'E=√[(2√3/3 + 4√3/3)² + (2-0)²]=√[(2√3)²+2²]=√(12+4)=4。
最小值为4。

12. 如图,四边形 $ ABCD $ 中,$ AD = 2 $,$ \angle A = \angle D = 90^\circ $,$ \angle B = 60^\circ $,$ BC = 2CD $.
(1) 在 $ AD $ 上找到点 $ P $,使 $ PB + PC $ 的值最小(保留作图痕迹,不写证明过程)；
(2) 求 $ PB + PC $ 的最小值.

(1) 作图见解析；(2) 4。

(1) 作图步骤：作点C关于AD的对称点C'，连接BC'交AD于点P，点P即为所求（作图痕迹略）。
(2) 设CD=x，则BC=2x。过点C作CE⊥AB于E，易知四边形AECD为矩形，∴AE=CD=x，CE=AD=2。在Rt△BCE中，∠B=60°，∠BCE=30°，∴BE=BC/2=x，由勾股定理得CE²+BE²=BC²，即2²+x²=(2x)²，解得x=2√3/3。∴CD=2√3/3，C'为C关于AD的对称点，∴C'D=CD=2√3/3，C'坐标(-2√3/3,2)，B坐标(4√3/3,0)。BC'=√[(4√3/3 + 2√3/3)² + (0 - 2)²]=√[(2√3)² + (-2)²]=4。故PB+PC的最小值为4。

13. 请仅用无刻度直尺完成以下作图.
(1) 如图 1,在直线 $ l $ 上画点 $ M $,$ N $,使得 $ MN $ 的长与小正方形的边长相等,且 $ AM + BN $ 最小；
(2) 如图 2,在直线 $ l $ 上画点 $ M $,$ N $,使得 $ MN $ 的长与小正方形的边长相等,且 $ AM + MN + BN $ 最小.

(1) ① 找到点B向左平移1个小正方形边长的格点B'；② 连接A、B'，交直线l于点M；③ 点M向右平移1个小正方形边长得点N。
(2) ① 找到点A向右平移1个小正方形边长的格点A'；② 连接A'、B，交直线l于点N；③ 点N向左平移1个小正方形边长得点M。