14. 观察下列多面体,并把下表补充完整.
|名称|三棱柱|四棱柱|五棱柱|六棱柱|
|图形|||||
|顶点数 $ a $|6||10|12|
|棱数 $ b $|9|12|||
|面数 $ c $|5|||8|

观察上表中的结果,你能发现 $ a $,$ b $,$ c $ 之间有什么关系吗？请写出关系式.

|名称|三棱柱|四棱柱|五棱柱|六棱柱|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|图形|||||
|顶点数 $a$|6|8|10|12|
|棱数 $b$|9|12|15|18|
|面数 $c$|5|6|7|8|
关系式：$a + c - b = 2$

15. 某种包装盒的形状是长方体,长 $ AD $ 比高 $ AE $ 的三倍多 2,宽 $ AB $ 为 3 分米,它的展开图如图所示.(不考虑包装盒的黏合处)
(1)设该包装盒的高 $ AE $ 为 $ m $ 分米,则该长方体的长 $ AD $ 为分米,边 $ FG $ 的长度为________分米；(用含 $ m $ 的式子表示)
(2)若 $ FG $ 的长为 12 分米,现对包装盒外表面涂色,每平方分米涂色的价格是 8 元,则为每个包装盒涂色的费用是多少？(注：包装盒内壁不涂色)

1. （1）
已知长$AD$比高$AE$的三倍多$2$，$AE = m$分米，根据题意可得$AD=(3m + 2)$分米。
由长方体展开图可知$FG=AD + 2AB$，因为$AB = 3$分米，$AD=(3m + 2)$分米，所以$FG=(3m + 2)+2×3=(3m + 8)$分米。
2. （2）
解：因为$FG = 12$分米，由$FG=3m + 8$，则$3m+8 = 12$。
解方程$3m+8 = 12$：
移项得$3m=12 - 8$，即$3m = 4$，解得$m=\frac{4}{3}$。
所以$AD=3m + 2=3×\frac{4}{3}+2=4 + 2=6$分米，$AE=\frac{4}{3}$分米，$AB = 3$分米。
长方体的表面积$S=2(AB× AD+AB× AE+AD× AE)$。
把$AB = 3$，$AD = 6$，$AE=\frac{4}{3}$代入公式$S=2(3×6+3×\frac{4}{3}+6×\frac{4}{3})$。
先计算括号内的值：
$3×6+3×\frac{4}{3}+6×\frac{4}{3}=18 + 4+8$。
$18 + 4+8=30$。
则$S = 2×30=60$平方分米。
已知每平方分米涂色价格是$8$元，则涂色费用$y=8S$。
把$S = 60$代入得$y=8×60 = 480$元。
答：（1）$(3m + 2)$，$(3m + 8)$；（2）为每个包装盒涂色的费用是$480$元。