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等腰三角形的判定方法
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2)有
符号语言：
如图所示,在△ABC中,
∵∠B= ∠C,
∴AB= AC.
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2)有
两角
相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).符号语言：
如图所示,在△ABC中,
∵∠B= ∠C,
∴AB= AC.
答案
两角
解析
根据等腰三角形的判定定理，两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。在△ABC中，已知∠B = ∠C，所以AB = AC。
【例】如图所示,已知在△ABC中,AB= AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高,BP与CQ交于点O. 求证：△BCO是等腰三角形.
答案
证明：
因为$AB = AC$，
根据等边对等角，
所以$\angle ABC = \angle ACB$。
因为$BP、CQ$分别是$AC、AB$边上的高，
所以$\angle QCB + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle PBC + \angle ACB = 90^{\circ}$。
由$\angle ABC = \angle ACB$，
得$\angle QCB = \angle PBC$。
在$\triangle BCO$中，
因为$\angle OBC = \angle OCB$，
所以$BO = CO$，
即$\triangle BCO$是等腰三角形。
因为$AB = AC$，
根据等边对等角，
所以$\angle ABC = \angle ACB$。
因为$BP、CQ$分别是$AC、AB$边上的高，
所以$\angle QCB + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle PBC + \angle ACB = 90^{\circ}$。
由$\angle ABC = \angle ACB$，
得$\angle QCB = \angle PBC$。
在$\triangle BCO$中，
因为$\angle OBC = \angle OCB$，
所以$BO = CO$，
即$\triangle BCO$是等腰三角形。
等腰三角形的两种判定方法
(1)当三角形有两条边相等时,应用等腰三角形的概念来判定；
(2)当三角形中有两个角相等时,应用“等角对等边”来判定.
(1)当三角形有两条边相等时,应用等腰三角形的概念来判定；
(2)当三角形中有两个角相等时,应用“等角对等边”来判定.
答案
(1)根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，所以当三角形有两条边相等时，可判定该三角形为等腰三角形。
(2)在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边），所以当三角形中有两个角相等时，可判定该三角形为等腰三角形。
(2)在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边），所以当三角形中有两个角相等时，可判定该三角形为等腰三角形。
1. 如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 36°,点D,E在AB上,如果BC= BD,∠CED= ∠CDE,那么图中的等腰三角形共有
4
个.答案
4
解析
在直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle B=36°$，则$\angle A=180° - 90° - 36°=54°$。
因为$BC = BD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形，$\angle BCD=\angle BDC=\frac{180° - 36°}{2}=72°$。
$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD=90° - 72°=18°$，在$\triangle ACD$中，$\angle ADC = 180°-\angle A-\angle ACD=180° - 54° - 18°=108°$，则$\angle CDE=180°-\angle ADC=180° - 108°=72°$。
因为$\angle CED=\angle CDE = 72°$，所以$\triangle CDE$是等腰三角形，$\angle DCE=180° - 2×72°=36°$。
$\angle BCE=\angle BCD-\angle DCE=72° - 36°=36°$，所以$\angle BCE=\angle B = 36°$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
$\angle ACE=\angle ACB-\angle BCE=90° - 36°=54°$，所以$\angle ACE=\angle A = 54°$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形有$\triangle BCD$、$\triangle CDE$、$\triangle BCE$、$\triangle ACE$，共$4$个。
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因为$BC = BD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形，$\angle BCD=\angle BDC=\frac{180° - 36°}{2}=72°$。
$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD=90° - 72°=18°$，在$\triangle ACD$中，$\angle ADC = 180°-\angle A-\angle ACD=180° - 54° - 18°=108°$，则$\angle CDE=180°-\angle ADC=180° - 108°=72°$。
因为$\angle CED=\angle CDE = 72°$，所以$\triangle CDE$是等腰三角形，$\angle DCE=180° - 2×72°=36°$。
$\angle BCE=\angle BCD-\angle DCE=72° - 36°=36°$，所以$\angle BCE=\angle B = 36°$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
$\angle ACE=\angle ACB-\angle BCE=90° - 36°=54°$，所以$\angle ACE=\angle A = 54°$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形有$\triangle BCD$、$\triangle CDE$、$\triangle BCE$、$\triangle ACE$，共$4$个。
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2. (2025·盐城)如图所示,已知在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F. 求证：CE= CF.
答案
在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，所以∠CDB = 90°。
则∠BCD + ∠ABC = 90°，∠A + ∠ABC = 90°。
所以∠A = ∠BCD。
因为 BF 平分∠ABC，所以∠ABF = ∠CBF。
又因为∠CEF = ∠CBF + ∠BCD，∠CFE = ∠ABF + ∠A。
而∠A = ∠BCD，∠ABF = ∠CBF。
所以∠CEF = ∠CFE。
根据等角对等边，可得 CE = CF。
综上，CE = CF 得证。
则∠BCD + ∠ABC = 90°，∠A + ∠ABC = 90°。
所以∠A = ∠BCD。
因为 BF 平分∠ABC，所以∠ABF = ∠CBF。
又因为∠CEF = ∠CBF + ∠BCD，∠CFE = ∠ABF + ∠A。
而∠A = ∠BCD，∠ABF = ∠CBF。
所以∠CEF = ∠CFE。
根据等角对等边，可得 CE = CF。
综上，CE = CF 得证。
3. 已知：如图所示,在△ABC中,D是AB中点,DE⊥AC,垂足为E,DF⊥BC,垂足为F,且ED= FD,求证：△ABC是等腰三角形.
答案
在△ABC 中，
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠AED = ∠BFD = 90°。
又∵ D 是 AB 中点，
∴ AD = BD。
在 Rt△ADE 和 Rt△BDF 中，
$\begin{cases}AD = BD,\\ED = FD.\end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BDF（HL）。
∴ ∠A = ∠B。
∴ AC = BC。
∴ △ABC 是等腰三角形。
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠AED = ∠BFD = 90°。
又∵ D 是 AB 中点，
∴ AD = BD。
在 Rt△ADE 和 Rt△BDF 中，
$\begin{cases}AD = BD,\\ED = FD.\end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BDF（HL）。
∴ ∠A = ∠B。
∴ AC = BC。
∴ △ABC 是等腰三角形。
