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1. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件。设甲每天做x个零件，下列方程正确的是()。
A.$\frac{240}{x}=\frac{280}{130 - x}$
B.$\frac{240}{130 - x}=\frac{280}{x}$
C.$\frac{240}{x}+\frac{280}{x}=130$
D.$\frac{240}{x}-130=\frac{280}{x}$
A.$\frac{240}{x}=\frac{280}{130 - x}$
B.$\frac{240}{130 - x}=\frac{280}{x}$
C.$\frac{240}{x}+\frac{280}{x}=130$
D.$\frac{240}{x}-130=\frac{280}{x}$
答案
A
解析
设甲每天做$x$个零件，则乙每天做$130 - x$个零件。
根据题意，甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，即：
$\frac{240}{x} = \frac{280}{130 - x}$
这个方程与选项A一致。
根据题意，甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，即：
$\frac{240}{x} = \frac{280}{130 - x}$
这个方程与选项A一致。
2. 某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务。原计划每天修建盲道多少米？
答案
设原计划每天修建盲道$x$米，则实际每天修建盲道$(1 + 25\%)x = 1.25x$米。
原计划完成任务所需时间为$\frac{3000}{x}$天，实际完成任务所需时间为$\frac{3000}{1.25x}$天。
根据题意，提前2天完成任务，可列方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.25x} = 2$
化简方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x} = 2$
解得$x = 300$。
经检验，$x = 300$是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天修建盲道300米。
原计划完成任务所需时间为$\frac{3000}{x}$天，实际完成任务所需时间为$\frac{3000}{1.25x}$天。
根据题意，提前2天完成任务，可列方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.25x} = 2$
化简方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x} = 2$
解得$x = 300$。
经检验，$x = 300$是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天修建盲道300米。
3. 青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11km的地方出发。一部分志愿者骑自行车先走，过了30min后，其余的志愿者乘汽车出发，结果他们同时到达。已知乘汽车的志愿者的速度是骑车的志愿者的速度的2倍，设骑车的志愿者的速度为xkm/h。根据题意，下列方程正确的是()。
A.$\frac{11}{x}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2x}$
B.$\frac{11}{x}-\frac{11}{2x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{11}{x}+30=\frac{11}{2x}$
D.$\frac{11}{x}-30=\frac{11}{2x}$
A.$\frac{11}{x}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2x}$
B.$\frac{11}{x}-\frac{11}{2x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{11}{x}+30=\frac{11}{2x}$
D.$\frac{11}{x}-30=\frac{11}{2x}$
答案
B
解析
设骑车的志愿者的速度为 $x$ km/h，则乘汽车志愿者的速度为 $2x$ km/h。
骑车的志愿者行驶11km所需的时间为 $\frac{11}{x}$ 小时，乘汽车的志愿者行驶11km所需的时间为 $\frac{11}{2x}$ 小时。
根据题意，乘汽车的志愿者比骑车的志愿者晚出发30分钟，即 $\frac{1}{2}$ 小时，所以他们行驶的时间差为 $\frac{1}{2}$ 小时。
因此，骑车的志愿者行驶时间减去乘汽车的志愿者行驶时间应等于 $\frac{1}{2}$ 小时，即：
$\frac{11}{x} - \frac{11}{2x} = \frac{1}{2}$。
骑车的志愿者行驶11km所需的时间为 $\frac{11}{x}$ 小时，乘汽车的志愿者行驶11km所需的时间为 $\frac{11}{2x}$ 小时。
根据题意，乘汽车的志愿者比骑车的志愿者晚出发30分钟，即 $\frac{1}{2}$ 小时，所以他们行驶的时间差为 $\frac{1}{2}$ 小时。
因此，骑车的志愿者行驶时间减去乘汽车的志愿者行驶时间应等于 $\frac{1}{2}$ 小时，即：
$\frac{11}{x} - \frac{11}{2x} = \frac{1}{2}$。
4. 昆明市区与石林风景区相距约84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30min，最后两人同时到达石林风景区(中途停车的时间忽略不计)，已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.5倍。若设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是()。
A.$\frac{84}{x}+\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{84}{1.5x}-\frac{1}{2}=\frac{84}{x}$
D.$\frac{84}{1.5x}=\frac{84}{x}$
A.$\frac{84}{x}+\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{84}{1.5x}-\frac{1}{2}=\frac{84}{x}$
D.$\frac{84}{1.5x}=\frac{84}{x}$
答案
B
解析
设旅游大巴的速度为$x$ km/h，则小轿车的速度为$1.5x$ km/h。
旅游大巴从昆明市区到石林风景区所需的时间为$\frac{84}{x}$小时，小轿车从昆明市区到石林风景区所需的时间为$\frac{84}{1.5x}$小时。
根据题意，甲比乙晚出发$30$分钟，即$\frac{1}{2}$小时，且两人同时到达，所以旅游大巴行驶的时间比小轿车多$\frac{1}{2}$小时。
因此，可以列出方程：$\frac{84}{x} - \frac{84}{1.5x} = \frac{1}{2}$。
旅游大巴从昆明市区到石林风景区所需的时间为$\frac{84}{x}$小时，小轿车从昆明市区到石林风景区所需的时间为$\frac{84}{1.5x}$小时。
根据题意，甲比乙晚出发$30$分钟，即$\frac{1}{2}$小时，且两人同时到达，所以旅游大巴行驶的时间比小轿车多$\frac{1}{2}$小时。
因此，可以列出方程：$\frac{84}{x} - \frac{84}{1.5x} = \frac{1}{2}$。
5. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。根据题意可列方程$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$，其中x表示()。
A.剩余椽的数量
B.这批椽的数量
C.剩余椽的运费
D.每株椽的价钱
A.剩余椽的数量
B.这批椽的数量
C.剩余椽的运费
D.每株椽的价钱
答案
B
解析
题目给定方程为$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$，其中$x$需要根据题意进行理解。
题目描述中，“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”可以理解为：
如果$x$表示椽的总数量，那么少拿一株后，剩余椽的数量为$x-1$，其总运费为$3(x - 1)$。
而“一株椽的价钱”可以用总价6210文除以椽的总数量$x$表示，即$\frac{6210}{x}$。
方程$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$表明少拿一株后的运费等于一株椽的价钱，因此$x$应表示椽的总数量。
题目描述中，“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”可以理解为：
如果$x$表示椽的总数量，那么少拿一株后，剩余椽的数量为$x-1$，其总运费为$3(x - 1)$。
而“一株椽的价钱”可以用总价6210文除以椽的总数量$x$表示，即$\frac{6210}{x}$。
方程$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$表明少拿一株后的运费等于一株椽的价钱，因此$x$应表示椽的总数量。
6. 数学源于生活，寓于生活，用于生活。在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用。为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进数学类甲种书和乙种书若干套。已知5000元可购买甲种书的数量比购买乙种书的数量多60套，且乙种书的单价是甲种书单价的2.5倍。求每套乙种书的价格。
答案
设甲种书的单价为$x$元，则乙种书的单价为$2.5x$元。
根据题意，得$\frac{5000}{x}-\frac{5000}{2.5x}=60$。
化简方程左边：$\frac{5000}{2.5x}=\frac{2000}{x}$，则方程为$\frac{5000}{x}-\frac{2000}{x}=60$，即$\frac{3000}{x}=60$。
解得$x=50$。
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意。
乙种书单价为$2.5x=2.5×50=125$（元）。
答：每套乙种书的价格为125元。
根据题意，得$\frac{5000}{x}-\frac{5000}{2.5x}=60$。
化简方程左边：$\frac{5000}{2.5x}=\frac{2000}{x}$，则方程为$\frac{5000}{x}-\frac{2000}{x}=60$，即$\frac{3000}{x}=60$。
解得$x=50$。
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意。
乙种书单价为$2.5x=2.5×50=125$（元）。
答：每套乙种书的价格为125元。
