1. 下列函数表达式中,一定为二次函数的是()
A.$ y= 3x-1 $
B.$ y= ax^{2}+bx+c $
C.$ s= 2t^{2}-2t+1 $
D.$ y= x^{2}+\frac{1}{x} $

C

A. 一次函数，不符合二次函数定义；
B. 当 $a = 0$ 时，不是二次函数，不符合题意；
C. 符合二次函数 $s = at^2 + bt + c$（$a \neq 0$）的形式，是二次函数；
D. 含有分式 $\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数定义。
结论：C

2. 已知二次函数 $ y= -2x^{2}+3x+5 $,当 $ x= 2 $ 时,$ y $ 的值为()
A.4
B.-4
C.3
D.-3

C

当$x = 2$时，$y=-2×2^{2}+3×2 + 5$
$=-2×4 + 6 + 5$
$=-8 + 6 + 5$
$=3$
C

3. 二次函数 $ y= (x-1)(2-x) $ 的一般式是,二次项系数、一次项系数、常数项分别是.

一般式是 $y = -x^2 + 3x - 2$；
二次项系数、一次项系数、常数项分别是 $-1, 3, -2$。

首先，我们将给定的二次函数 $y = (x-1)(2-x)$ 展开，得到：
$y = (x-1)(2-x) = 2x - x^2 - 2 + x = -x^2 + 3x - 2$，
这就是二次函数的一般式。
从一般式中，我们可以直接读出二次项系数、一次项系数和常数项。
二次项系数是 $-1$，一次项系数是 $3$，常数项是 $-2$。

4. 某厂今年一月份新产品的研发资金为 $ a $ 元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 $ x $,则该厂今年三月份新产品的研发资金 $ y $(元)关于 $ x $ 的函数表达式为.

$ y = a(1+x)^2 $

1. 根据题意，一月份新产品的研发资金为 $ a $ 元。
2. 二月份的研发资金增长率为 $ x $，因此二月份的研发资金为 $ a(1+x) $ 元。
3. 同理，三月份的研发资金在二月份的基础上再增长 $ x $，所以三月份的研发资金为 $ a(1+x)(1+x) = a(1+x)^2 $ 元。
4. 因此，该厂今年三月份新产品的研发资金 $ y $（元）关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = a(1+x)^2 $。

5. 正方形的边长是 3,若边长增加 $ x $,面积增加 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为.

$y = x^2 + 6x$

原正方形面积为 $3^2 = 9$，边长增加 $x$ 后，新正方形边长为 $3 + x$，面积为 $(3 + x)^2$。面积增加量 $y = (3 + x)^2 - 9$，展开得 $y = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x$。
$y = x^2 + 6x$

6. 已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c $,当 $ x= 0 $ 时,$ y= 4 $；当 $ x= 1 $ 时,$ y= 9 $；当 $ x= 2 $ 时,$ y= 18 $. 求这个二次函数的表达式.

将 $ x=0 $, $ y=4 $ 代入 $ y=ax^{2}+bx+c $，得 $ 4 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c $，即 $ c=4 $。
将 $ x=1 $, $ y=9 $ 及 $ c=4 $ 代入，得 $ 9 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 4 $，化简得 $ a + b = 5 $ ①。
将 $ x=2 $, $ y=18 $ 及 $ c=4 $ 代入，得 $ 18 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + 4 $，化简得 $ 4a + 2b = 14 $，即 $ 2a + b = 7 $ ②。
② - ①得 $ 2a + b - (a + b) = 7 - 5 $，解得 $ a=2 $。
将 $ a=2 $ 代入①，得 $ 2 + b = 5 $，解得 $ b=3 $。
所以二次函数表达式为 $ y=2x^{2}+3x+4 $。

7. 如图,正方形铁片边长为 15,现在四个角上各剪去一个边长为 $ x $ 的小正方形,用余下部分做成一个无盖的盒子,盒子表面积为 $ S $.
(1)求 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式,并求出 $ x $ 的取值范围.
(2)当 $ x= 3 $ 时,求 $ S $ 的值.

(1) 原正方形面积为 $15 × 15 = 225$，剪去的四个小正方形总面积为 $4x^2$，盒子表面积 $S = 225 - 4x^2$。
因为小正方形边长为正数且不能超过原正方形边长的一半，所以 $0 ＜ x ＜ \frac{15}{2}$，即 $0 ＜ x ＜ 7.5$。
函数表达式为 $S = -4x^2 + 225$，$x$ 的取值范围是 $0 ＜ x ＜ 7.5$。
(2) 当 $x = 3$ 时，$S = -4 × 3^2 + 225 = -4 × 9 + 225 = -36 + 225 = 189$。
(1) $S = -4x^2 + 225$，$0 ＜ x ＜ 7.5$；
(2) $189$